Siste publikasjoner ved Institutt for matematiske fag

In this paper, I introduce multidimensional ecologies of mathematical life (MEMaL), a framework for understanding mathematics as a lived practice that extends across formal instruction and everyday life, and is shaped by social, material, and political conditions. MEMaL identifies five ecological dimensions. Spatial ecologies concern embodied engagement with tools, materials, and arrangements that organize participation. Temporal ecologies attend to the rhythms, repetitions, and durations through which mathematical ideas gain continuity. Epistemic ecologies concern locally valued criteria for credible or worthwhile mathematical knowledge, while affective ecologies foreground the atmospheres shaping recognition, belonging, confidence, and risk-taking. Imaginative ecologies address how individuals and communities envision mathematical futures, identities, and possibilities. MEMaL’s distinctive contribution is its focus on ecological configuration: how spatial, temporal, epistemic, affective, and imaginative conditions come together and alter one another. Changes within one dimension can therefore reorganize possibilities for mathematical participation, recognition, and becoming across the wider ecology. These dimensions sit within broader political forces that shape an environmental context and determine whose participation becomes visible, credible, and valued. Mathematical activity, on this account, cannot be separated from environments that enable or restrain participation and shape whether that participation is recognized and valued. MEMaL therefore offers researchers and educators a way to examine these interdependencies and the mathematical lives they make possible.

Background: Algebra remains a challenging aspect of the secondary school mathematics curriculum in Nigeria, contributing to persistent learning difficulties and poor achievement.Objectives: This study examined the effect of Gagné's instructional strategy on students’ performance and retention in Algebra, as well as its impact across gender.Methods: A quasi-experimental design was employed involving 382 students selected through multi-stage sampling. An Algebra Performance Test with a reliability coefficient of.69 was used for data collection. Descriptive statistics and Quade's non-parametric ANCOVA were used to analyse the data.Results: Results showed that students taught using Gagné's instructional strategy performed significantly better than those taught through the conventional approach, F(1, 380) = 518.11, p < .001, partial η2 = .577, indicating a large practical effect. Gagné's instructional strategy also supported retention outcomes, reflecting sustained learning over time. Additionally, no significant gender differences were found in performance after adjusting for pretest scores, F(1, 181) = 0.16, p = .690, partial η2 = .001, suggesting that Gagné's instructional strategy benefits male and female students equally.Conclusion: The findings demonstrate that Gagné's instructional strategy effectively enhances both immediate and sustained Algebra learning. It is recommended that Gagné's instructional strategy be integrated into mathematics instruction and teacher training programmes to improve learning outcomes in secondary schools. Implications of these findings and recommendations for practice are discussed.

The purpose of this study was to examine changes and growth in prospective mathematics teachers’ (PMTs) noticing skills of fractions in terms of attending, interpretation, and decision-making. Twenty PMTs at a foundation university participated in an 8-week online laboratory school (OLS). In the context of the OLS, we provided PMTs with opportunities for online fieldwork. This included collaborative lesson planning on fractions with peers under mentor supervision, teaching experiences with Grade 4–5 students, and receiving feedback on their instruction. Before and after the OLS, we asked PMTs to view a recorded video lesson on fractions and write reflections based on what they noticed. Analysis of their reflections showed that 15 PMTs improved their overall noticing skills. Moreover, the PMTs showed significant improvements in both interpretation and decision-making, but not in attending, which was already high. We discuss implications of those results to advance PMTs’ noticing of fractions in the OLS.

Scratch is widely regarded as a promising programming tool for supporting mathematical learning. Grounded in Gibson’s affordance theory, this study uses a survey questionnaire with closed- and open-ended items to explore the technological, pedagogical, and mathematical affordances and constraints of Scratch in mathematics education. The results indicate that Scratch both affords and constrains students’ mathematical learning. The study concludes by outlining its contributions, limitations, and directions for future research on programming in mathematics education.

This article presents a scoping review of international peer-reviewed literature (2015–2025) examining how sustainability is addressed in initial mathematics teacher education (IMTE). Guided by five research questions, the review synthesised 24 empirical studies to explore how sustainability is conceptualised, integrated, and challenged in IMTE contexts. Two dominant conceptualisations emerged: “mathematics for sustainable development,” which positions mathematics as a tool for engaging with socio-environmental issues; and ”sustainability of mathematics-related knowledge,” which emphasises the lasting impact of IMTE on prospective teachers’ knowledge, skills, and dispositions. Each conceptualisation gives rise to distinct, yet sometimes overlapping, pedagogical approaches. The former is associated with socio-critical mathematical modelling, interdisciplinary project-based learning, and reflective pedagogy, while the latter foregrounds technology-enhanced instruction, culturally responsive teaching, and development of transferable competencies. Persistent barriers, however, include rigid curricula, limited faculty expertise, conceptual uncertainty, and misaligned policy frameworks. Addressing these challenges requires systemic action through curriculum reform, interdisciplinary professional development, and integration of sustainability competencies into accreditation standards. The review showed how conceptual framings of sustainability inform pedagogical practice, reveal structural obstacles, and guide strategic responses, offering a foundation for reimagining IMTE as a transformative space for preparing mathematics teachers to contribute meaningfully to sustainable futures.

Background: The demands of 21st-century classrooms require pre-service teachers to develop digital competencies that enable effective instructional delivery and collaboration.Objectives: This study evaluated the effectiveness of a digital-age teaching module in improving pre-service teachers’ preparedness for future classrooms.Methods: Using a quasi-experimental design, the study engaged first-year education students and assessed changes in four competency domains: digital literacy, instructional planning, collaborative learning, and technology integration for teaching and assessment. A structured, theory-driven methodology grounded in the Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK) framework guided the intervention and evaluation. Quantitative data were collected through validated instruments and analysed to determine the module’s impact on participants’ instructional competencies.Results: The study found that the preservice teachers exposed to the digital-age teaching module demonstrated significantly greater instructional competency across all four dimensions of the study (digital literacy skills, instructional planning ability, collaborative learning ability and technology integration ability) compared to those in the control group.Conclusion: The study concluded that the digital-age teaching module had a strong positive effect on enhancing pre-service teachers’ instructional competency and remain substantial aspect of the teacher-training's curriculum which prepared pre-service teachers for 21st-century classrooms and it recommended formal integration of the digital-age teaching module into pre-service teacher education programmes, structured monitoring and evaluation systems to assess the effectiveness of digital teaching modules, capacity building in technology and provision of adequate digital tools by the Government.

In this essay, I extend Ole Skovsmose’s typology of how mathematics relates to crises, namely constituting, picturing, and formatting, into the field of mathematics education. I argue that mathematics education is not a neutral enterprise but an institutional, pedagogical, and discursive field already implicated in crises. It can constitute crises through exclusionary structures, pedagogical norms, assessment practices, and policy regimes; picture crises when learners engage mathematically with issues such as climate change, pandemics, and economic inequality; and format crises by shaping what is recognised as a legitimate problem, form of knowledge, and course of action. Drawing on critical mathematics education, I examine how curriculum, pedagogy, assessment, teacher education, research, and policy are entangled with contemporary social, economic, political, and environmental crises. This reframing shifts attention from how mathematics education might respond to crises to how it already participates in producing, representing, and defining them. I conclude by considering how greater critical and ethical reflexivity might enable mathematics education to challenge these processes and contribute to more just and sustainable futures.

This study examines how student mentors perceive and communicate relevance of mathematics within economics education through video resources. Eight second- and third-year economics students participated as student mentors, addressing the challenge of perceived relevance during the transition from school mathematics to mathematics in economics education. The mentors emphasised the use value of mathematics, primarily by contextualising mathematical concepts for later courses, and reflected on their role as ‘bridging people’ drawing on recent experience to support first-year students. While prioritising use value, some examples intersected with exchange value, particularly through references to examinations, indicating that relevance may combine both dimensions. Keywords: Mathematics for economists, relevance, use- and exchange value, qualitative, video resources.

This study explores pre-service teachers' (PSTs) storylines regarding their engagement with programming as a new component of mathematics and science education in Norwegian schools. To familiarize fourth-year PSTs with programming and exploratory teaching approaches, a 4-week period of experiential learning was conducted. Designed to elicit reflection on the role of the teacher, this 4-week period culminated in the PSTs working in groups to plan and deliver instruction for high school students. We have used narrative inquiry to investigate the positioning of PSTs regarding programming, the use of programming in teaching, and exploratory approaches to teaching programming. The study is based on the weekly reflection logs of nine PSTs. In this paper, we chose one PST (we called Thor, Linn, and Hans) from each group and narrated how their positioning unfolded over the four weeks. Understanding PSTs’ positioning when faced with changing curricula may help teacher educators in supporting prospective teachers.

The purpose of this article is to deepen our understanding of the transition from substantiating a formula for a figural pattern by naive empiricism to substantiation by a generic example. We conceptualise this transition using the commognitive constructs meta-rules, commognitive conflict, and reification. Our conceptualisation is exemplified by a description of the learning process of a group of four pre-service mathematics teachers (PSTs) engaged in justifying formulas for figural patterns. The PSTs initially substantiated the formula for a figural pattern by naive empiricism. After watching video-based suggested solutions, in which the structure of the figural pattern was made explicit by grouping the dots in the figural pattern, a commognitive conflict emerged. We show how this conflict was resolved in the next session, after the teacher initiated a plenary discussion on how a formula for a figural pattern should be substantiated. We demonstrate how the PSTs’ discourse developed during this process.

This paper addresses fairness of assessment in the context of a developmental project to improve teaching and learning in an introductory mathematical modeling course for preservice teachers (PSTs). Their learning was assessed through a portfolio, and the PSTs and lecturers co-developed the assessment criteria for this portfolio. Through classroom observations and a survey, we analyzed the portfolio assessment and the students’ experiences of the unit in terms of fairness. We conceptualized fairness in terms of coherence and tensions among task demands, opportunities for learning, and transparent assessment. The results indicate that the co-developed assessment criteria were accessible and useful for the PSTs. Together with the portfolio format, the criteria were instrumental in achieving a high level of coherence among task demands, learning opportunities, and transparent assessment.

Matematik Origo fördjupning nivå 1 är anpassad till Gy25 och gör det lätt att arbeta med problemlösning, resonemang och förståelse. Till elevboken finns verktyget Lärarstöd+ samt kopieringsmaterialet Prov, Övningsblad och Aktiviteter. Vår övertygelse är att förståelse skapar den motivation som behövs för att eleverna ska lyckas med sina matematikstudier. Därför inleds varje avsnitt med en teorigenomgång och ett antal noggrant utvalda exempel. Vår strävan har varit att göra dessa exempel begripliga för alla, utan att för den skull väja för det som elever kan uppfatta som svårt. Varje avsnitt innehåller varierade uppgifter på tre olika nivåer. Det gör det möjligt för dig som lärare att arbeta med klassen samlad kring ett matematiskt moment. Här finns rikligt med uppgifter, både för den elev som behöver enkla ingångar och för den elev som behöver utmaningar. Varje kapitel avslutas med en mängd användbara resurser för variation, repetition och fördjupning av det matematiska innehållet, bland annat en tankekarta, fördjupande uppgifter och ett kapiteltest.

We discuss a Cauchy problem we define and mainly focus on solving this with a very weak solution, a process which requires regularisation of input data using a Friedrich mollifier. This regularisation makes the problem a differential equation with strictly smooth parts, an dso the equation can become solvable for a set mollifier. If this solution is what we call C^1-moderate then it is considered a very weak solution of the Cauchy problem. A lot of care is given to explain the background of the problem due to its complexity, mainly focusing on Fourier analysis.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan en undervisningsressurs kan utvikles for å støtte elevers arbeid med den kommutative lov i addisjon. Studien tar utgangspunkt i behovet for målrettede og tilgjengelige ressurser som kan bidra til at elever ikke bare finner riktige svar i addisjon, men også utvikler forståelse for matematiske sammenhenger og strukturer. Ressursen er utviklet innenfor rammen av satsingen til Matematikksenteret Meningsfull matematikk, og er særlig rettet mot elever som trenger ekstra støtte i arbeid med grunnleggende matematiske prinsipper. Studiens forskningsspørsmål er: Hvordan kan vi designe en ressurs for intensiv opplæring med fokus på den kommutative lov i addisjon? For å svare på forskningsspørsmålet er det gjennomført en kvalitativ, designorientert studie. Ressursen ble utviklet med utgangspunkt i teori om intensiv opplæring, utforskende matematikkundervisning, bruk av konkrete og visuelle representasjoner, fasemodellen og målrettede matematiske samtaler. Datamaterialet består av observasjoner fra utprøvning av ressursen i form av feltnotater, lydopptak og et semi-strukturert intervju med læreren som gjennomførte undervisningen. Resultatene viser at ressursens design har betydning for hvordan elevene arbeider med kommutativitet. Bruk av konkrete og visuelle representasjoner kan støtte elevenes arbeid med å se sammenhengen mellom addisjonsuttrykk med ombyttede ledd. Samtidig viser studien at ressursen stiller krav til lærerens rolle. Læreren må støtte elevene gjennom spørsmål, samtaler og tydeliggjøring av det matematiske målet. Resultatene viser også at enkelte oppgaver bør videreutvikles, blant annet gjennom tydeligere visuell utforming, mer støtte i lærerveiledningen og bedre mulighet for tilpasning. Studien konkluderer med at for å designe en ressurs for intensiv opplæring med fokus på den kommutative lov i addisjon må bygges på et godt teoretisk grunnlag og at utprøvning er essensielt. Ressursen må så analyseres og vurderes med mål om å videreutvikle ressursen.

Sammendrag Denne masteroppgaven undersøker læreres erfaringer med undervisning av elever med dysleksi i matematikk. Selv om dysleksi ofte forbindes med lese- og skrivevansker, viser tidligere forskning at lærevansken også kan påvirke elevers læring i matematikk. Særlig i arbeid med språk, begreper og tekstoppgaver. Formålet med studien har vært å få innsikt i hvordan lærere forstår sammenhengen mellom dysleksi og matematikk, hvilke undervisningsstrategier de bruker, og hvilke utfordringer og behov de opplever i arbeidet med denne elevgruppen. Studien bygger på et kvalitativt forskningsdesign med semistrukturerte intervjuer av fem lærere som underviser i matematikk. Datamaterialet ble analyser gjennom tematisk analyse, og funnene ble videre diskutert i lys av Molbaeks (2018) rammeverk for inkluderende undervisning. Funnene viser at lærerne i stor grad forstå sammenhengen mellom dysleksi og matematikk gjennom språk. Særlig tekstoppgaver, begrepsforståelse og språklige formuleringer ble trukket fram som utfordrende for elever med dysleksi. Samtidig viser studien at lærerne bruker mange ulike undervisningsstrategier for å støtte elevene, blant annet muntlige forklaringer, opplesning av oppgaver, visuelle hjelpemidler, læringspartner og digitale verktøy. Flere av lærerne opplevde likevel usikkerhet knyttet til sin egen kompetanse og hvordan undervisningen best kan tilrettelegges. Funnene peker også mot betydningen av relasjoner, trygghet og inkludering i matematikkundervisning. Studien konkluderer med at lærerne gjør mye for å støtte elever med dysleksi i matematikk, men at arbeidet i stor grad bygger på erfaringer fra praksis fremfor systematisk kompetanse om dysleksi og matematikkdidaktikk. Studien peker derfor på behovet for økt kunnskap om dysleksi i matematikk både i lærerutdanningen og i skolen generelt.

Denne masteroppgaven tar for seg sammenhengen mellom kognitive krav og representasjonstyper i et utvalg geometrioppgaver på 9. trinn. Studien er en kvalitativ enkeltcasestudie utført ved en ungdomsskole i Sør-Norge. Hensikten i studien er å få innsikt i hvordan oppgaveutforming kan legge til rette for elevers forståelse ved å undersøke (1) hvilke kognitive krav oppgavene stiller, og (2) hvilke representasjonstyper som brukes i oppgavene og av elevene, og hvilke overganger mellom representasjoner som blir gjort. Det teoretiske grunnlaget for analysen er Duvals (2006) teori om semiotiske registre og kognitive transformasjoner, samt Stein og Smiths (1998) rammeverk for kognitive krav. Datamaterialet består av en førtest og tilhørende arbeidsoppgaver, elevbesvarelser fra 9 elever, intervjuer med én lærer og tre elever, og observasjon av en undervisningstime. Førtesten viser en jevn fordeling av kognitive krav; arbeidsoppgavene inneholder i hovedsak høye kognitive krav. Ingen oppgaver er kategorisert som matematisk tenkning. Oppgavene kombinerte oftest verbale, visuelle og symbolske representasjoner, mens kontekstuelle oppgaver krevde lengre konverteringsrekker. Elevene hadde flest utfordringer knyttet til tolkning av informasjon i kontekstoppgaver.

Sammendrag Denne masteroppgaven er en kvalitativ studie som undersøker hvilke løsningsstrategier elever benytter i arbeid med multiplikasjon av brøk i digitale og fysiske læreverk, samt hvordan læreverkenes utforming kan påvirke elevenes strategibruk. Studien tar utgangspunkt i det digitale læreverket Campus Inkrement fra Inkrement AS og det fysiske læreverket Matematikk 8: Grunnbok fra Cappelen Damm. Problemstillingen for studien er: Hvilke løsningsstrategier benytter elevene når de jobber med multiplikasjon av brøk i digitale og fysiske læreverk, og hvordan kan læreverkets utforming påvirke elevenes løsningsstrategier? Problemstillingen er delt inn i tre forskningsspørsmål: 1. Hvordan presenteres multiplikasjon av brøk i digitale og fysiske læreverk? 2. Hvilke løsningsstrategier legger de ulike læreverkene til rette for? 3.Hvilke løsningsstrategier benytter elevene i arbeid med tekstoppgaver om multiplikasjon av brøk? Studien bygger på Van de Walle et al. (2019) sin teori om brøkforståelse og Duvals (2006) teori om semiotiske representasjonsregistere. Videre tar vi utgangspunkt i et sosiokulturelt perspektivt (Vygotsky, 1978). Datamaterialet består av dokumentanalyse av læreverkene, observasjon av elevers arbeid, semistrukturert intervju og elevbesvarelser. Funnene viser at elevene hovedsakelig benytter strategier knyttet til gjentatt addisjon, partitioning og utviding av brøk i arbeid med multiplikasjon av brøk. Studien viser samtidig at det ikke er tydelige forskjeller mellom hvilke løsningsstrategier elevene benytter i det digitale og det fysiske læreverket, men at forskjellene i større grad ligger mellom elevenes individuelle tilnærminger til oppgavene. Videre viser analysen at Campus-Inkrement i større grad benytter ikoniske støtterepresentasjoner og legger til rette for individuelt arbeid, mens Matematikk 8 i større grad åpner for samarbeid og muntlig resonnering. Samlet tyder funnene på at læreverkenes representasjoner, oppbygning og format kan påvirke hvordan elevene arbeider med oppgavene og hvilke strategier som blir tilgjengelige i læringsarbeidet.

Gjennom to ulike sannsynlighetsspill har vi observert og analysert hvordan to elevpar på 9. trinn resonnerer, diskuterer og utvikler sin sannsynlighetsforståelse. Forskningsspørsmålet er: Hvordan kommer elevenes forståelse av sannsynlighet til uttrykk ved deltakelse i en utforskende spillkontekst? Det teoretiske rammeverket bygger på et sosiokulturelt perspektiv på læring, Pedaste et al. (2015) sitt rammeverk for inquiry-basert læring og Jones et al. (1997) sitt rammeverk for sannsynlighetstenkning, som er modifisert fra fire til tre nivåer. Studien er kvalitativ og utformet som en kasusstudie der to elevpar på 9. trinn deltok i semistrukturerte intervjuer gjennom to sannsynlighetsspill: hesteveddeløp med terninger og en variant av Monty Hall-problemet. Datamaterialet består av transkriberte video- og lydopptak. Analysen viser at begge elevparene beveger seg fra intuitive og subjektive vurderinger (nivå 1) til strukturerte og kvantitative resonnementer (nivå 3) i løpet av aktivitetene. Spillkonteksten alene bringer elevene til nivå 2, mens overgangen til nivå 3 krever målrettet stillasbygging fra læreren. Inquiry-prosessen er syklisk, og spillets struktur med gjentatte runder og strategimøter genererer naturlige vekslinger mellom konseptualisering og undersøkelse. Progresjonen er ikke stabil: økt kompleksitet kan føre til tilbakefall, og kvalitativ og numerisk forståelse kan utvikles i ulikt tempo. Funnene viser at elevenes sannsynlighetsforståelse utvikles i samspillet mellom spillkonteksten, inquiry-prosessen og lærerens stillasbygging.

Sammendrag Denne studien undersøker hvordan matematisk diskurs kommer til uttrykk hos elever på 1.-2. trinn i gruppearbeid med den programmerbare roboten Blue-bot. Studiens problemstilling er: «Hvordan kommer matematisk diskurs til uttrykk hos elever på 1.-2. trinn i gruppearbeid med Blue-bot?». Det teoretiske rammeverket er basert på Sfards commognition-teori, hvor matematisk læring forstås som deltakelse i matematisk diskurs (Sfard, 2008). Clements og Saramas læringsbaner benyttes som fagdidaktisk rammeverk for å tolke det matematiske innholdet i elevenes ytringer og handlinger. Studien bygger på en kvalitativ observasjonsstudie gjennomført i en naturlig klasseromskontekst i en kombinert 1.-2. klasse. Datamaterialet er samlet inn gjennom video- og lydopptak fra undervisningsaktiviteten «Blue-bot på talljakt», gjennomført over to matematikktimer. Materialet er transkribert og analysert ved hjelp av tematisk analyse inspirert av Braun og Clarke (2006). Funnene viser at elevenes matematiske diskurs preges av en dynamisk veksling mellom ritualiserte og utforskende rutiner. Ritualiserte rutiner kommer til uttrykk når elevene gjennomfører aktiviteter uten videre refleksjon mens utforskende rutiner oppstår når elevene stopper opp, forhandler og begrunner matematiske ideer i fellesskap. Overganger til utforskende rutiner skjer særlig i situasjoner der forslag prøves ut, utfordres og valideres gjennom samhandling og bruk av Blue-bot. Samtidig viser studien at deltakelsen i utforskende rutiner varierer mellom elevene i gruppen. Videre viser studien at Blue-bot fungerer som et visuelt medierende verktøy og et felles referansepunkt i elevenes samarbeid. Robotens bevegelser synliggjør avvik mellom forventede og faktiske resultater, noe som bidrar til forhandling og validering av matematiske narrativer. Teknologien fremstår likevel ikke som en drivkraft for matematisk utforskning i seg selv, men som et verktøy som kan støtte matematisk diskurs når aktiviteten er didaktisk forankret. Studien konkluderer med at robotbaserte aktiviteter kan bidra til å synliggjøre matematiske ideer og fremme matematisk diskurs i begynneropplæringen. Samtidig understrekes betydningen av lærerens didaktiske valg, gruppesammensetning og oppfølging av samtaler for å støtte overganger fra ritualiserte til utforskende rutiner. Videre forskning bør undersøke hvordan slike aktiviteter påvirker elevenes tallforståelse over tid, samt hvilken betydning lærerintervensjoner har for utviklingen av matematisk diskurs.

Denne masteroppgaven undersøker lekbasert matematikkundervisning, med et særlig fokus på lærerens rolle. Studien tar utgangspunkt i en egendesignet aktivitet, kalt Minimonstrenes tårnoppdrag, som ble gjennomført på 1. og 2. trinn. Det undersøkes hvordan lærere følger opp elevers strategier, begrepsbruk og resonnering i arbeid med aktiviteten, der måling og sammenligning av høyde står sentralt. Elevene skulle bygge et tårn som var like høyt som et modelltårn i et annet rom, uten bruk av tall eller standardiserte måleenheter. Aktiviteten la dermed til rette for indirekte sammenligning av høyde. Studien er forankret i et sosiokulturelt læringsperspektiv, der læring forstås som noe som skjer gjennom samhandling, språk og bruk av kulturelle redskaper (Skodvin, 2023). I tillegg bygger oppgaven på teori om lek i et kulturhistorisk perspektiv (van Oers, 2010) og lekbasert læring (Zosh et al., 2018). For å besvare studiens forskningsspørsmål er det gjennomført en kvalitativ flerkasusstudie ved to skoler, en 1. klasse og en 2. klasse. Datamaterialet består av videoobservasjon og feltnotater fra fire gjennomføringer av aktiviteten. Analysen bygger på arbeidet til Björklund et al. (2018) som kategoriserte lærerens handlinger i lekbasert matematikkundervisning inn i handlingslinjer. Disse perspektivene brukes for å analysere hvordan lærerne skaper mening i aktiviteten og følger opp elevenes matematiske arbeid. Materialet er analysert med utgangspunkt i tematisk analyse (Braun og Clarke, 2006), med en hovedsakelig induktiv tilnærming. Analysen resulterte i tre hovedtemaer som beskriver lærernes handlinger: å skape og opprettholde en meningsfull kontekst, å følge opp elevenes strategiutvikling og presisjon i problemløsning og å følge opp elevenes arbeid med matematiske begrep. Studiens resultater indikerer at lærernes handlinger spilte en rolle i å koble den lekbaserte konteksten til det matematiske innholdet og til å følge opp elevenes arbeid med strategier, begreper og resonnering. Resultatene tyder på at aktiviteten og lærernes oppfølging åpnet for erfaringer med transitivitet når elevene brukte et tredje objekt som mellomledd for å kontrollere målinger og begrunne egne løsninger. Samtidig ser det ut til at lærerne balanserte struktur og frihet ved å tydeliggjøre oppdraget og aktivitetens rammer, mens elevene fikk handlingsrom til å utforske hvordan høyden kunne måles og overføres. Oppgaven bidrar dermed med praksisnær kunnskap om hvordan lærere følge opp elevers arbeid med sammenligning og måling i lekbasert matematikkundervisning.

Denne studien undersøker hvordan butikklek i matematikkundervisningen på 1. trinn kan bidra til elevenes matematiske handlinger. Formålet med studien er å undersøke hvordan lærerens handlinger og lekens regler gir muligheter for matematiske handlinger. Lek har fått en tydeligere plass i skolen etter seksårsreformen og gjennom LK20, der utforskende og varierte arbeidsmåter fremheves (Kunnskapsdepartementet, 2020). Samtidig finnes det fortsatt begrenset forskning på hvordan lek kan brukes som undervisningsmetode i matematikk i de første skoleårene. Studien er gjennomført som en kvalitativ enkeltcasestudie med bruk av observasjon som primærmetode for datainnsamlingen, og intervju som metode for å supplere med viktige betraktninger av det som skjedde i klasserommet. Observasjonen ble utført under en dobbelttime med stasjonsundervisning, hvor elevene var fordelt i tre grupper. To av gruppene ble filmet, mens feltnotater ble ført for den tredje gruppen på grunn av manglende samtykke til filming. Intervjuet ble gjennomført med kontaktlæreren med lydopptak i etterkant av undervisningsøkten. Datamaterialet er analysert i lys av Vygotskys sosiokulturelle perspektiv og Valsiners soneteori. Resultatene viser at lek i seg selv ikke automatisk fører til matematiske handlinger, men at lærerens handlinger og lekens regler har en avgjørende betydning for hvilke matematiske muligheter som oppstår. Lærerens veiledning, spørsmål og tydelige forventninger bidrar til å strukturere elevenes deltakelse og skaper et handlingsrom som fremmer matematiske handlinger. Videre viser studien at lekens regler, som krav om kjøp, betaling og rollefordeling, spiller en sentral rolle i å skape situasjoner der matematisk handling blir nødvendig og meningsfull. Tydelige regler fremmer elevenes deltakelse, mens utydelige regler eller avvik fra reglene svekker muligheten for matematiske handlinger.

Studien fokuserer på elevenes strategier i møte med divisjonsstekstoppgaver. Hensikten med studien er å si noe om hvilke strategier elevene bruker på oppgaver med delings- og målingsdivisjon. Studiens problemstilling er «Strategier elever bruker på divisjonsoppgaver med kontekst», med forskningsspørsmålene «Hvilke strategier bruker elever på 5. trinn når de arbeider med divisjonsoppgaver med delings- og målingsdivisjonskontekst?» og «Hvilke forskjeller finner vi i elevenes strategi for delings- og målingsdivisjon?». Studien er en kvalitativ casestudie der datainnsamlingsmetoden var et oppgavesett deretter intervju. Vi har bedt 28 elever i 5. klasse om å løse to oppgaver, en knyttet til delingsdivisjon og en til målingsdivisjon. Etterfulgt av intervju med ni av elevene for å få ytterligere innsikt i strategiene elevene har brukt. Til analysen av oppgavebesvarelsene har vi anvendt Mayring (2015) sin kvalitative innholdsanalyse med deduktiv vinkling. I analyserammeverket har vi tatt i bruk Anghileri (2001), Robinson et al. (2006) og Hickendorff et al. (2018) sine definisjoner på divisjonsstrategier. I våre resultater har vi sett på frekvensen av strategier på tvers av de to oppgavene. Den mest brukte strategien av elevene på 5.trinn var Gruppering (33,9%), etterfulgt av strategiene Bryte ned (30,4%), Gjentatt addisjon (7,1%), Gruppering og Bryte ned (5,4%), i tillegg til Uklassifiserbare (16,1%) og Blankt svar (7,1%). Vi fant flere Uklassifiserbare strategier og flere som ikke kom frem til riktig svar på oppgaven knyttet til målingsdivisjon enn oppgaven knyttet til delingsdivisjon.

Resonnering og argumentasjon er et sentralt kjerneelement i dagens læreplan, og anses som grunnleggende for elevers matematiske tenkning og utvikling. Denne masteroppgaven er en kvalitativ casestudie som undersøker elevers matematiske resonnering, med utgangspunkt i Jeannotte og Kierans forståelse av resonnering, forankret i Sfard sitt syn på tenkning og kommunikasjon som gjensidige prosesser. Formålet med studien er å forstå hvordan elever uttrykker matematisk resonnering i møte med tre ulike matematiske oppgaver. Studien tar utgangspunkt i problemstillingen: Hvordan uttrykker elevgrupper på 6. trinn matematisk resonnering i arbeid med tre rike matematiske oppgaver? For å belyse dette er det formulert to forskningsspørsmål knyttet til hvordan resonneringsprosessene til Jeannotte og Kieran kommer til uttrykk, og hvordan disse varierer i møte med tre ulike oppgaver. Datamaterialet er innhentet gjennom observasjon av 14 elever organisert i tre grupper, komplementert av tre semistrukturerte elevintervju. Elevenes muntlige utsagn er transkribert gjennom video- og lydopptak, og deres skriftlige besvarelser er inkludert i analysen. Materialet er analysert ved hjelp av et forhåndsdefinert analytisk verktøy basert på Jeannotte og Kierans resonneringsprosesser. Funnene viser at elever på 6. trinn i stor grad uttrykker resonnering gjennom prosesser knyttet til søk etter likheter og ulikheter, med vekt på identifisering av mønstre, sammenligning og hypotesedanning. Samtidig har elevene utfordringer med prosesser tilknyttet validering, ved at de i begrenset grad forklarer, begrunner og validerer gyldigheten av matematiske påstander. Studien peker på en misoppfatning der eksemplifisering tillegges en bevisførende funksjon. Videre indikerer funnene at oppgavens utforming, kontekst og bruk av representasjoner har betydning for hvilke resonneringsprosesser som kommer til uttrykk. Studien viser at elevenes resonnering i hovedsak er empirisk forankret og preget av begrenset deduktiv resonnering. På den måten understrekes behovet for undervisning som ikke bare legger til rette for utforskning, men også støtter elevenes deduktive resonnering og validering. Lærerens valg av oppgaver og vektlegging av slike prosesser i undervisning fremstår avgjørende for elevenes videre utvikling av matematisk resonnering.

Assessment plays an important role in identifying students’ mathematical understanding and supporting instructional decision-making. In particular, diagnostic assessment can provide insight into students’ strengths, misconceptions, and levels of conceptual and procedural understanding. This master’s thesis investigates a diagnostic assessment tool designed to evaluate Grade 10 students’ understanding of relations and linear functions. The study follows a design-based research approach consisting of two cycles. The first cycle involved a mock implementation using fictive student responses to explore potential misconceptions and the diagnostic value of the assessment tasks. The second cycle consisted of a classroom implementation with 11 Norwegian Grade 10 students from a municipal school. Data were collected through students’ written responses to diagnostic tasks and analysed qualitatively with a focus on conceptual understanding, procedural competence, and the ability to move between multiple representations such as graphs, tables, equations, and contextual situations. The findings indicate that the assessment tasks allow to diagnose students’ partial and fragmented understanding of relations and linear functions. While many students are able to work within individual representations, difficulties emerge when connecting representations or explaining underlying mathematical relationships. Challenges related to graph interpretation, rate of change, and contextual reasoning become particularly evident in the diagnostic test. The results further highlight a distinction between procedural competence and conceptual understanding. The study suggests that diagnostic assessment tools can effectively reveal students’ misconceptions and provide valuable insight into their mathematical thinking. At the same time, the findings indicate the need for further adaptation of assessment tasks to better align with the Norwegian educational context and to support the assessment of conceptual reasoning.

Studien undersøker hvordan lærerstudentene forstår, utvikler og bruker brøklikninger i ulike matematiske kontekster, med vekt på både faglig resonnering og pedagogiske vurderinger. Studien forsøker å svare på problemstillingen: “Hvordan arbeider lærerstudentene faglig og pedagogisk med likninger som inneholder brøk i ulike matematiske kontekster.”. For å besvare dette, ble problemstillingen delt inn i tre forskningsspørsmål, som er: Hvordan utvikler og bruker lærerstudentene likninger som inneholder brøk i ulike matematiske kontekster? Hvordan henger lærerstudentenes enhetskoordinasjon sammen med handlingene og operasjonene de utfører når de formulerer algebraiske likninger? Hvordan forstår lærerstudentene elevers mulige utfordringer med likninger som involverer brøk, og hvordan beskriver de sin egen veiledningspraksis i slike situasjoner? Det teoretiske rammeverket bygger på Norton et al (2015) sin teori om enhetskoordinasjon som grunnlag for å forstå hvordan lærerstudentene utvikler og anvender likninger. I tillegg brukes Hackenberg & Sevincs (2022) ideer rundt multiplikativ forståelse av brøkrelasjoner mellom ukjente, for å analysere hvordan deltakerne håndterer brøkstrukturer i algebraiske situasjoner. For å svare på forskningsspørsmålene ble det gjennomført en kvalitativ, abduktiv tematisk analyse av individuelle, semistrukturerte, oppgavebaserte intervjuer med åtte lærerstudenter. Analysen tok utgangspunkt i Nortons (2015) rammeverk for enhetskoordinasjon og Hackenberg & Sevincs (2022) beskrivelser, samtidig som induktive mønstre i materialet ble utviklet for å belyse både studentenes algebraiske strategier og deres didaktiske vurderinger. Studien viser at lærerstudentene utvikler ulike typer brøklikninger avhengig av konteksten, og at additive uttrykk dominerer når brøker forstås som deler av en helhet. Studentenes nivå av enhetskoordinasjon påvirker hvordan de formulerer og bruker likningene, der høyere nivåer gir mer relasjonelle og multiplikative uttrykk. Videre identifiserer studentene selv at både konvertering mellom representasjoner og begrepsforståelse utgjør sentrale utfordringer for elever.

Norske elever presterer svakere i algebra enn på andre emner i fag og sammenliknet med elever i andre land, kommer det frem i TIMSS (Bergem et al., 2016). Denne masteroppgaven undersøker hvordan lærebøker på 8. trinn legger til rette for arbeid med matematisk resonnering i algebra. Studien har dermed fått følgende forskningsspørsmål: 1) I hvilken grad gir lærebøker i matematikk på 8.trinn mulighet for å arbeide med matematisk resonnering i algebra? 2) Hva karakteriserer algebraoppgaver som inviterer til å resonnere matematisk i lærebøker for 8.trinn? For å besvare forskningsspørsmålene er det benyttet en lærebokanalyse av tre læreverk: Matematikk 8 (Hjardar & Pedersen, 2020), Matemagisk 8 (Kongsnes & Wallace, 2020) og Maximum 8 (Tofteberg et al., 2020). Totalt 1563 oppgaver har blitt analysert i studien med fire ulike rammeverk. Rammeverket for matematisk resonnering baserer seg på Thompson et al. (2012), Jeannotte og Kierans (2017). Samtidig er det også brukt flere rammeverk for å fange opp karakteristikkene til oppgavene som er matematisk resonnering. Disse inkluderer kognitive krav (Smith & Stein, 1998), algebraisk aktivitet med begrep fra Kaput (2008) og forståelse av den ukjente fra Küchemann (1978). Funnene fra analysen viser at lærebøkene legger til rette for matematisk resonnering i noen grad. 42% av oppgavene inviterer til en form for matematisk resonnering. Samtidig er det 58% av oppgavene som ikke inviterer til en form for matematisk resonnering. Oppgavene som inviterer til matematisk resonnering karakteriseres hovedsakelig med utforskning og identifisering av mønstre og sammenhenger. Oppgaver som krever begrunnelse, argumentasjon og validering forekommer i mindre grad. Videre viser analysen at der elevene får muligheter for å arbeide med matematisk resonnering i algebra, skjer det hovedsakelig innenfor strukturerte rammer og prosedyrer. Funnene tyder på at lærebøkene i større grad legger til rette for de utforskende og generaliserende sidene med matematisk resonnering. I lys av læreplanens kjerneelement, inngår matematisk resonnering på tvers av utforskning og problemløsning, abstraksjon og generalisering, resonnering og argumentasjon. Dette kan indikere at lærebøkene i matematikk ikke ivaretar hele bredden av matematisk resonnering slik det blir vektlagt i læreplanen.

Denne studien er en kvalitativ studie av på hvilke måter matematiske oppvarmingsoppgaver kan fungere som motivasjonsfaktor for en gruppe åttendeklassinger. Norske elevers motivasjon og prestasjoner i matematikk har over tid vært en bekymring, og nyere undersøkelser viser både tilbakegang i matematiske prestasjoner og nedgang i motivasjon blant norske elever (Jensen et al., 2023; Kaarstein & Lehre, 2025; Radišić & Pettersen, 2025). Studien retter særlig oppmerksomheten mot hvordan elevene selv beskriver betydningen av oppvarmingsoppgaver for motivasjon og mestringstro, og hvordan motivasjonen kommer til uttrykk i arbeid med oppgavene. Oppvarmingsoppgaver er vanskelig å definere, men felles for oppvarmingsoppgaver er at de gjennomføres i starten av undervisningen, er relativt korte og har som mål å fange elevenes interesse, rette elevenes oppmerksomhet mot matematisk tenkning og å skape en god inngang til timen (Hovtun, 2019; Temaj et al., 2024; Liljedahl, 2021). Datamaterialet i studien bygger på observasjoner av et helt trinn gjennom seks undervisningsøkter, der elevene arbeidet med tre ulike oppvarmingsoppgaver. I tillegg ble fire elever og trinnets matematikklærer intervjuet. Martins (2007) motivasjonshjul ble brukt som teoretisk rammeverk for å analysere elevenes motivasjon gjennom både kognitive og atferdsdimensjoner. Hovedfunnet i denne studien er at oppvarmingsoppgaver særlig så ut til å fungere motiverende i selve oppstarten av timen. Den lave inngangsterskelen bidro til at flere elever deltok, og motivasjon kom blant annet til uttrykk gjennom utholdenhet og strategisk arbeid. Samtidig framstod oppvarmingsoppgavenes betydning primært som kortsiktig, snarere enn som en varig endring i elevenes motivasjon og mestringstro. Studien peker også på at lærerens tilstedeværelse og oppfølging hadde betydning for at oppvarmingsoppgaver skulle støtte elevenes deltakelse og engasjement.

Studien fokuserer på elevenes strategier i møte med divisjonsstekstoppgaver. Hensikten med studien er å si noe om hvilke strategier elevene bruker på oppgaver med delings- og målingsdivisjon. Studiens problemstilling er «Strategier elever bruker på divisjonsoppgaver med kontekst», med forskningsspørsmålene «Hvilke strategier bruker elever på 5. trinn når de arbeider med divisjonsoppgaver med delings- og målingsdivisjonskontekst?» og «Hvilke forskjeller finner vi i elevenes strategi for delings- og målingsdivisjon?». Studien er en kvalitativ casestudie der datainnsamlingsmetoden var et oppgavesett deretter intervju. Vi har bedt 28 elever i 5. klasse om å løse to oppgaver, en knyttet til delingsdivisjon og en til målingsdivisjon. Etterfulgt av intervju med ni av elevene for å få ytterligere innsikt i strategiene elevene har brukt. Til analysen av oppgavebesvarelsene har vi anvendt Mayring (2015) sin kvalitative innholdsanalyse med deduktiv vinkling. I analyserammeverket har vi tatt i bruk Anghileri (2001), Robinson et al. (2006) og Hickendorff et al. (2018) sine definisjoner på divisjonsstrategier. I våre resultater har vi sett på frekvensen av strategier på tvers av de to oppgavene. Den mest brukte strategien av elevene på 5.trinn var Gruppering (33,9%), etterfulgt av strategiene Bryte ned (30,4%), Gjentatt addisjon (7,1%), Gruppering og Bryte ned (5,4%), i tillegg til Uklassifiserbare (16,1%) og Blankt svar (7,1%). Vi fant flere Uklassifiserbare strategier og flere som ikke kom frem til riktig svar på oppgaven knyttet til målingsdivisjon enn oppgaven knyttet til delingsdivisjon.

Denne masteroppgaven tar for seg sammenhengen mellom kognitive krav og representasjonstyper i et utvalg geometrioppgaver på 9. trinn. Studien er en kvalitativ enkeltcasestudie utført ved en ungdomsskole i Sør-Norge. Hensikten i studien er å få innsikt i hvordan oppgaveutforming kan legge til rette for elevers forståelse ved å undersøke (1) hvilke kognitive krav oppgavene stiller, og (2) hvilke representasjonstyper som brukes i oppgavene og av elevene, og hvilke overganger mellom representasjoner som blir gjort. Det teoretiske grunnlaget for analysen er Duvals (2006) teori om semiotiske registre og kognitive transformasjoner, samt Stein og Smiths (1998) rammeverk for kognitive krav. Datamaterialet består av en førtest og tilhørende arbeidsoppgaver, elevbesvarelser fra 9 elever, intervjuer med én lærer og tre elever, og observasjon av en undervisningstime. Førtesten viser en jevn fordeling av kognitive krav; arbeidsoppgavene inneholder i hovedsak høye kognitive krav. Ingen oppgaver er kategorisert som matematisk tenkning. Oppgavene kombinerte oftest verbale, visuelle og symbolske representasjoner, mens kontekstuelle oppgaver krevde lengre konverteringsrekker. Elevene hadde flest utfordringer knyttet til tolkning av informasjon i kontekstoppgaver.

I denne kvalitative studien har vi undersøkt matematikklæreres erfaring og opplevelser med matematikkangst. Vår problemstilling har vært: Hvordan forholder matematikklærere på barneskolen seg til matematikkangst? For å besvare vår problemstilling har vi gjennomført 12 individuelle semi-strukturerte intervjuer med matematikklærere fra Sørlandet og Østlandet. Deretter gjennomførte vi en refleksiv tematisk analyse med komposittnarrativer. Resultatet av vårt prosjekt er fire narrativer: Maria, Olav, Karoline og Fillip. De har alle sin historie knyttet til matematikkangst gjennom barneskole, lærerutdanning og yrkesliv. Deres historier er delt inn i tre faser: fortid, nåtid og fremtid, inspirert av vårt teoretiske rammeverk, den økologiske modellen for teacher agency skrevet av Biesta et al. (2015). I drøftingen undersøkte vi hvordan narrativene kan knyttes opp mot tidligere forskning. Her kommer det frem at mestringstro, feiling som styrke og matematikkangst som begrep er svært aktuelle temaer. Avslutningsvis ser vi på noen mulige implikasjoner ved denne studien. Nøkkelord: Matematikkangst, matematikklærere, følelser og matematikk

Denne studien undersøker hvordan butikklek i matematikkundervisningen på 1. trinn kan bidra til elevenes matematiske handlinger. Formålet med studien er å undersøke hvordan lærerens handlinger og lekens regler gir muligheter for matematiske handlinger. Lek har fått en tydeligere plass i skolen etter seksårsreformen og gjennom LK20, der utforskende og varierte arbeidsmåter fremheves (Kunnskapsdepartementet, 2020). Samtidig finnes det fortsatt begrenset forskning på hvordan lek kan brukes som undervisningsmetode i matematikk i de første skoleårene. Studien er gjennomført som en kvalitativ enkeltcasestudie med bruk av observasjon som primærmetode for datainnsamlingen, og intervju som metode for å supplere med viktige betraktninger av det som skjedde i klasserommet. Observasjonen ble utført under en dobbelttime med stasjonsundervisning, hvor elevene var fordelt i tre grupper. To av gruppene ble filmet, mens feltnotater ble ført for den tredje gruppen på grunn av manglende samtykke til filming. Intervjuet ble gjennomført med kontaktlæreren med lydopptak i etterkant av undervisningsøkten. Datamaterialet er analysert i lys av Vygotskys sosiokulturelle perspektiv og Valsiners soneteori. Resultatene viser at lek i seg selv ikke automatisk fører til matematiske handlinger, men at lærerens handlinger og lekens regler har en avgjørende betydning for hvilke matematiske muligheter som oppstår. Lærerens veiledning, spørsmål og tydelige forventninger bidrar til å strukturere elevenes deltakelse og skaper et handlingsrom som fremmer matematiske handlinger. Videre viser studien at lekens regler, som krav om kjøp, betaling og rollefordeling, spiller en sentral rolle i å skape situasjoner der matematisk handling blir nødvendig og meningsfull. Tydelige regler fremmer elevenes deltakelse, mens utydelige regler eller avvik fra reglene svekker muligheten for matematiske handlinger.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan elevers dybdelæring i brøk kommer til uttrykk gjennom arbeid med representasjoner. Studien tar utgangspunkt i forskningsspørsmålet: Hvordan kommer elevers dybdelæring i brøk til uttrykk gjennom arbeid med representasjoner? For å undersøke dette ble det gjennomført et kvalitativt undervisningseksperiment på 5. trinn. Elevene arbeidet med brøk gjennom fire undervisningsøkter, med bruk av blant annet tegninger, konkreter, symboler, tallinje, muntlige forklaringer og kontekstuelle oppgaver. Datamaterialet består av elevbesvarelser, bilder av elevarbeid og video- og lydopptak. Det teoretiske rammeverket bygger på Duval sin teori om semiotiske representasjoner, særlig behandling og konvertering, og Nosrati og Wæge sitt rammeverk for dybdelæring i matematikk. Brøkbegrepet blir belyst gjennom del/helhet, likeverdige brøker, brøk som størrelse og tallinje. Funnene viser at flere elever kom frem til riktige svar, i oppgaver om likeverdige brøker, del/helhet og sammenligning av brøkstørrelser. Samtidig var forklaringene ofte begrensede. Elevene arbeidet mest innenfor samme representasjonsform, mens overganger mellom ulike representasjoner kom mindre tydelig frem. Studien viser at representasjoner kan gi innsikt i elevers dybdelæring i brøk, men at elevene trenger tid og støtte til å forklare, begrunne og koble representasjonene sammen.

Denne studien er en kvalitativ studie av på hvilke måter matematiske oppvarmingsoppgaver kan fungere som motivasjonsfaktor for en gruppe åttendeklassinger. Norske elevers motivasjon og prestasjoner i matematikk har over tid vært en bekymring, og nyere undersøkelser viser både tilbakegang i matematiske prestasjoner og nedgang i motivasjon blant norske elever (Jensen et al., 2023; Kaarstein & Lehre, 2025; Radišić & Pettersen, 2025). Studien retter særlig oppmerksomheten mot hvordan elevene selv beskriver betydningen av oppvarmingsoppgaver for motivasjon og mestringstro, og hvordan motivasjonen kommer til uttrykk i arbeid med oppgavene. Oppvarmingsoppgaver er vanskelig å definere, men felles for oppvarmingsoppgaver er at de gjennomføres i starten av undervisningen, er relativt korte og har som mål å fange elevenes interesse, rette elevenes oppmerksomhet mot matematisk tenkning og å skape en god inngang til timen (Hovtun, 2019; Temaj et al., 2024; Liljedahl, 2021). Datamaterialet i studien bygger på observasjoner av et helt trinn gjennom seks undervisningsøkter, der elevene arbeidet med tre ulike oppvarmingsoppgaver. I tillegg ble fire elever og trinnets matematikklærer intervjuet. Martins (2007) motivasjonshjul ble brukt som teoretisk rammeverk for å analysere elevenes motivasjon gjennom både kognitive og atferdsdimensjoner. Hovedfunnet i denne studien er at oppvarmingsoppgaver særlig så ut til å fungere motiverende i selve oppstarten av timen. Den lave inngangsterskelen bidro til at flere elever deltok, og motivasjon kom blant annet til uttrykk gjennom utholdenhet og strategisk arbeid. Samtidig framstod oppvarmingsoppgavenes betydning primært som kortsiktig, snarere enn som en varig endring i elevenes motivasjon og mestringstro. Studien peker også på at lærerens tilstedeværelse og oppfølging hadde betydning for at oppvarmingsoppgaver skulle støtte elevenes deltakelse og engasjement.

Matematisk modellering er forankret som et kjerneelement i læreplanverket LK20, der elevene skal utvikle evnen til å bruke matematikk til å beskrive og forstå virkeligheten. Til tross for denne forankringen viser forskning et vedvarende gap mellom læreplanens ambisjoner og det som faktisk realiseres i klasserommet. Denne flercasestudien undersøker hvordan matematikklæreres arbeid med matematisk modellering på ungdomstrinnet kan forstås i lys av samspillet mellom lærernes forståelse, undervisningspraksis og forhold som påvirker arbeidet. Studien har et kvalitativt design, der datamaterialet er samlet inn gjennom klasseromsobservasjon og semi-strukturerte intervjuer med tre lærere ved ungdomsskoler i Agder. Antropologisk teori om det didaktiske (ATD) er benyttet som analytisk rammeverk, med vekt på begrepene praxeologi, praxis og logos, samt institusjonelle betingelser. Praxis uttrykkes gjennom oppgavetyper og teknikker lærerne benytter i undervisningen, mens logos viser til begrunnelsene som ligger til grunn for praksisen. Institusjonelle betingelser er rammer som påvirker hvordan praksisen realiseres. Funnene viser at lærerne deler en grunnleggende forståelse av modellering som en prosess mellom virkelighet og matematikk, og at alle tre begrunner bruken av modellering med matematikkens praktiske nytte og muligheten for dybdelæring. Samtidig realiseres denne felles forståelsen ulikt. To av lærerne knytter modellering tett til tekstoppgaver, mens den tredje integrerer modellering i bestemte matematiske temaer. Et gjennomgående trekk er at valideringsfasen får liten plass i undervisningen. Elevene får dermed i begrenset grad anledning til å vurdere om den matematiske modellen gir et rimelig svar på den opprinnelige situasjonen. Dette kan henge sammen med at lærernes forståelse av modellering primært vektlegger oversettelsen fra virkelighet til matematikk. Lærerne peker på elevenes faglige forutsetninger og tilgjengelig tid som det mest sentrale som påvirker arbeidet med modellering. En av lærerne peker også på at modelleringsoppgaver ikke lenger forekommer på eksamen, noe som svekker begrunnelsen for å prioritere modellering i undervisningen. Studien viser at gapet mellom lærernes intensjoner og undervisningspraksis må ses i sammenheng med hvordan de forstår og realiserer modellering, og de institusjonelle betingelsene lærerne arbeider innenfor.

Denne masteroppgaven er en kvalitativ studie som undersøker hvilke løsningsstrategier elever benytter i arbeid med multiplikasjon av brøk i digitale og fysiske læreverk, samt hvordan læreverkenes utforming kan påvirke elevenes strategibruk. Studien tar utgangspunkt i det digitale læreverket Campus Inkrement fra Inkrement AS og det fysiske læreverket Matematikk 8: Grunnbok fra Cappelen Damm. Problemstillingen for studien er: Hvilke løsningsstrategier benytter elevene når de jobber med multiplikasjon av brøk i digitale og fysiske læreverk, og hvordan kan læreverkets utforming påvirke elevenes løsningsstrategier? Problemstillingen er delt inn i tre forskningsspørsmål: 1.Hvordan presenteres multiplikasjon av brøk i digitale og fysiske læreverk? 2.Hvilke løsningsstrategier legger de ulike læreverkene til rette for? 3.Hvilke løsningsstrategier benytter elevene i arbeid med tekstoppgaver om multiplikasjon av brøk? Studien bygger på Van de Walle et al. (2019) sin teori om brøkforståelse og Duvals (2006) teori om semiotiske representasjonsregistere. Videre tar vi utgangspunkt i et sosiokulturelt perspektivt (Vygotsky, 1978). Datamaterialet består av dokumentanalyse av læreverkene, observasjon av elevers arbeid, semistrukturert intervju og elevbesvarelser. Funnene viser at elevene hovedsakelig benytter strategier knyttet til gjentatt addisjon, partitioning og utviding av brøk i arbeid med multiplikasjon av brøk. Studien viser samtidig at det ikke er tydelige forskjeller mellom hvilke løsningsstrategier elevene benytter i det digitale og det fysiske læreverket, men at forskjellene i større grad ligger mellom elevenes individuelle tilnærminger til oppgavene. Videre viser analysen at Campus-Inkrement i større grad benytter ikoniske støtterepresentasjoner og legger til rette for individuelt arbeid, mens Matematikk 8 i større grad åpner for samarbeid og muntlig resonnering. Samlet tyder funnene på at læreverkenes representasjoner, oppbygning og format kan påvirke hvordan elevene arbeider med oppgavene og hvilke strategier som blir tilgjengelige i læringsarbeidet.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan elevers forståelse av sannsynlighet kommer til uttrykk ved deltakelse i en utforskende spillkontekst. Forskningsspørsmålet er: Hvordan kommer elevenes forståelse av sannsynlighet til uttrykk ved deltakelse i en utforskende spillkontekst? Det teoretiske rammeverket bygger på et sosiokulturelt perspektiv på læring, Pedaste et al. (2015) sitt rammeverk for inquiry-basert læring og Jones et al. (1997) sitt rammeverk for sannsynlighetstenkning, som er modifisert fra fire til tre nivåer. Studien er kvalitativ og utformet som en kasusstudie der to elevpar på 9. trinn deltok i semistrukturerte oppgavebaserte intervjuer gjennom to sannsynlighetsspill: hesteveddeløp med terninger og en variant av Monty Hall-problemet. Datamaterialet består av transkriberte video- og lydopptak. Analysen viser at begge elevparene beveger seg fra intuitive og subjektive vurderinger (nivå 1) til strukturerte og kvantitative resonnementer (nivå 3) i løpet av aktivitetene. Spillkonteksten alene bringer elevene til nivå 2, mens overgangen til nivå 3 krever målrettet stillasbygging fra læreren. Inquiry-prosessen er syklisk, og spillets struktur med gjentatte runder og strategimøter genererer naturlige vekslinger mellom konseptualisering og undersøkelse. Progresjonen er ikke stabil: økt kompleksitet kan føre til tilbakefall, og kvalitativ og numerisk forståelse kan utvikles i ulikt tempo. Funnene viser at elevenes sannsynlighetsforståelse utvikles i samspillet mellom spillkonteksten, inquiry-prosessen og lærerens stillasbygging.

Både gjennom utdanningen og på bakgrunn av læreplanens fokus på tematikken, ser vi på resonnering som en sentral og viktig del av matematikkundervisning. Vårt ønske har vært å undersøke hva resonnering kan innebære, og hvordan dette kan komme til uttrykk. Studien skal derfor gi svar på forskningsspørsmålet: Hva kjennetegner 4.trinns elevers resonnering i arbeid med problemløsningsoppgaver i grupper? For å svare på studiens forskningsspørsmål har vi gått for en kvalitativ studie med observasjon som metode for å samle inn data. Datainnsamlingen ble gjennomført i en undervisningsøkt, og består av lydopptak fra seks elevers arbeid med problemløsningsoppgaver i grupper. Lydopptakene ble lyttet til flere ganger, før de ble transkribert og kodet etter et egendefinert analytisk rammeverk. For å kunne se hvilke resonneringsprosesser som kom til uttrykk hos elevgruppene, utviklet og tilpasset vi et analytisk rammeverk basert på prosessaspektene i Jeanotte og Kieran (2017) sin modell for matematisk resonnering. Hensikten med rammeverket vårt er å se hvilke resonneringsprosesser som kommer til uttrykk når elevene arbeider med problemløsningsoppgaver. Studiens resultater viste at elevene i størst grad tok i bruk resonneringsprosesser innenfor søk etter likheter og forskjeller. Ofte innebar dette at de brukte konkrete talleksempler som utgangspunkt for både fremgangsmåte og begrunnelse av egen konklusjon. I tillegg viste resultatene at elevene ofte tok i bruk flere resonneringsprosesser samtidig og om hverandre, og at samspillet mellom flere prosesser førte elevene til en endelig konklusjon om oppgavene. Videre viste resultatene at elevene i mindre grad brukte resonneringsprosesser innenfor validering, og at de aldri oppnådde de satte kravene for bevis. Mulige forklaringer på resultatene våre blir drøftet i drøftingskapittelet, før vi avslutningsvis konkluderer med svar på forskningsspørsmålet.

I denne kvalitative studien har vi undersøkt matematikklæreres erfaring og opplevelser med matematikkangst. Vår problemstilling har vært: Hvordan forholder matematikklærere på barneskolen seg til matematikkangst? For å besvare vår problemstilling har vi gjennomført 12 individuelle semi-strukturerte intervjuer med matematikklærere fra Sørlandet og Østlandet. Deretter gjennomførte vi en refleksiv tematisk analyse med komposittnarrativer. Resultatet av vårt prosjekt er fire narrativer: Maria, Olav, Karoline og Fillip. De har alle sin historie knyttet til matematikkangst gjennom barneskole, lærerutdanning og yrkesliv. Deres historier er delt inn i tre faser: fortid, nåtid og fremtid, inspirert av vårt teoretiske rammeverk, den økologiske modellen for teacher agency skrevet av Biesta et al. (2015). I drøftingen undersøkte vi hvordan narrativene kan knyttes opp mot tidligere forskning. Her kommer det frem at mestringstro, feiling som styrke og matematikkangst som begrep er svært aktuelle temaer. Avslutningsvis ser vi på noen mulige implikasjoner ved denne studien. Nøkkelord: Matematikkangst, matematikklærere, følelser og matematikk

Både gjennom utdanningen og på bakgrunn av læreplanens fokus på tematikken, ser vi på resonnering som en sentral og viktig del av matematikkundervisning. Vårt ønske har vært å undersøke hva resonnering kan innebære, og hvordan dette kan komme til uttrykk. Studien skal derfor gi svar på forskningsspørsmålet: Hva kjennetegner 4.trinns elevers resonnering i arbeid med problemløsningsoppgaver i grupper? For å svare på studiens forskningsspørsmål har vi gått for en kvalitativ studie med observasjon som metode for å samle inn data. Datainnsamlingen ble gjennomført i en undervisningsøkt, og består av lydopptak fra seks elevers arbeid med problemløsningsoppgaver i grupper. Lydopptakene ble lyttet til flere ganger, før de ble transkribert og kodet etter et egendefinert analytisk rammeverk. For å kunne se hvilke resonneringsprosesser som kom til uttrykk hos elevgruppene, utviklet og tilpasset vi et analytisk rammeverk basert på prosessaspektene i Jeanotte og Kieran (2017) sin modell for matematisk resonnering. Hensikten med rammeverket vårt er å se hvilke resonneringsprosesser som kommer til uttrykk når elevene arbeider med problemløsningsoppgaver. Studiens resultater viste at elevene i størst grad tok i bruk resonneringsprosesser innenfor søk etter likheter og forskjeller. Ofte innebar dette at de brukte konkrete talleksempler som utgangspunkt for både fremgangsmåte og begrunnelse av egen konklusjon. I tillegg viste resultatene at elevene ofte tok i bruk flere resonneringsprosesser samtidig og om hverandre, og at samspillet mellom flere prosesser førte elevene til en endelig konklusjon om oppgavene. Videre viste resultatene at elevene i mindre grad brukte resonneringsprosesser innenfor validering, og at de aldri oppnådde de satte kravene for bevis. Mulige forklaringer på resultatene våre blir drøftet i drøftingskapittelet, før vi avslutningsvis konkluderer med svar på forskningsspørsmålet.

Temaet for denne masteroppgaven er høyt presterende elevers opplevelse av tilpasset opplæring i matematikk. Studien retter seg mot hvordan elevene opplever ulike former for tilpasninger i matematikkundervisning, og hva som beskriver ulike situasjoner der tilpasningen oppleves som god eller mindre god. Den overordnede problemstillingen for masteroppgaven er: Hvordan opplever høyt presterende elever tilpasset opplæring i matematikk? Studien er gjennomført som en kvalitativ studie med narrativ tilnærming. Datamaterialet er samlet inn gjennom et narrativt gruppeintervju med fire høyt presterende elever i matematikk på 10. trinn. Intervjuet er blitt analysert ved narrativ analyse med en tematisk tilnærming der utdrag fra fortellingene har blitt tildelt ulike koder og plassert i temaer. Det empiriske materialet la videre føringer for valg av teori. Det teoretiske rammeverket bygger på teori rundt tilpasset opplæring, differensiering i matematikkundervisning, relasjonell og instrumentell forståelse og motivasjon for læring. Funnene fra studien viser at de høyt presterende elevene opplever matematikkundervisningen som bedre tilpasset når den innebærer arbeid med oppgaver som legger til rette for forklaring, resonnering og begrunnelse fremfor arbeid med repeterende prosedyrer. Oppgaver som åpner for utforskning og arbeid med matematiske sammenhenger oppleves som mer engasjerende og lærerike for de høyt presterende elevene. I tillegg viser funnene betydningen av balanse mellom utfordring og mestring i matematikkoppgaver. For enkle oppgaver oppleves som lite motiverende for elevene, mens for vanskelige oppgaver uten tilstrekkelig veiledning fører til passivitet. Videre viser funnene at organiseringen av tilpasninger er av stor betydning for opplevelsen. Elevene ønsker faglig utfordring innenfor fellesskapet av klassen. Tilpasninger som gjør elevene synlig adskilt fra resten av klassen oppleves som mindre positivt.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan en undervisningsressurs kan utvikles for å støtte elevers arbeid med den kommutative lov i addisjon. Studien tar utgangspunkt i behovet for målrettede og tilgjengelige ressurser som kan bidra til at elever ikke bare finner riktige svar i addisjon, men også utvikler forståelse for matematiske sammenhenger og strukturer. Ressursen er utviklet innenfor rammen av satsingen til Matematikksenteret Meningsfull matematikk, og er særlig rettet mot elever som trenger ekstra støtte i arbeid med grunnleggende matematiske prinsipper. Studiens forskningsspørsmål er: Hvordan kan vi designe en ressurs for intensiv opplæring med fokus på den kommutative lov i addisjon? For å svare på forskningsspørsmålet er det gjennomført en kvalitativ, designorientert studie. Ressursen ble utviklet med utgangspunkt i teori om intensiv opplæring, utforskende matematikkundervisning, bruk av konkrete og visuelle representasjoner, fasemodellen og målrettede matematiske samtaler. Datamaterialet består av observasjoner fra utprøvning av ressursen i form av feltnotater, lydopptak og et semi-strukturert intervju med læreren som gjennomførte undervisningen. Resultatene viser at ressursens design har betydning for hvordan elevene arbeider med kommutativitet. Bruk av konkrete og visuelle representasjoner kan støtte elevenes arbeid med å se sammenhengen mellom addisjonsuttrykk med ombyttede ledd. Samtidig viser studien at ressursen stiller krav til lærerens rolle. Læreren må støtte elevene gjennom spørsmål, samtaler og tydeliggjøring av det matematiske målet. Resultatene viser også at enkelte oppgaver bør videreutvikles, blant annet gjennom tydeligere visuell utforming, mer støtte i lærerveiledningen og bedre mulighet for tilpasning. Studien konkluderer med at for å designe en ressurs for intensiv opplæring med fokus på den kommutative lov i addisjon må bygges på et godt teoretisk grunnlag og at utprøvning er essensielt. Ressursen må så analyseres og vurderes med mål om å videreutvikle ressursen.

Denne masteroppgaven rapporterer funn knyttet til en kvalitativ undersøkelse omkring fem matematikklæreres tolkning av begrepet, og tilrettelegging for, relasjonell forståelse. Oppgaven søker også etter å belyse hvilke faktorer som spiller inn på lærernes tilrettelegging for utvikling av relasjonell forståelse i matematikk. Relasjonell forståelse er et begrep som først ble introdusert av Richard Skemp i 1976. Dersom en person besitter relasjonell forståelse innebærer det at personen både vet hva hen skal gjøre, men også hvorfor. I skolesammenheng kobles dette til begrepet dybdelæring, da dybdelæringsbegrepet tar for seg blant annet relasjonell forståelse. Hensikten med å belyse lærernes oppfatning av og tilrettelegging for relasjonell forståelse var å forstå hvordan teoriene fra Skemp (1976) kommer frem i praksis. Oppgaven belyser begreper fra Skemp som relasjonell forståelse, instrumentell forståelse og skjematisk læring, samt nærliggende begreper som begrepsmessig og prosedyrisk kunnskap. Datamaterialet ble innhentet gjennom fem semi-strukturerte intervjuer over den digitale plattformen Zoom, og informantene var alle lærere med erfaring fra matematikkundervisning på mellomtrinnet. Analysen baserer seg på en fortolkende fenomenologisk analyse og presenterer lærernes svar fra intervjuene i meningsenheter. Meningsenhetene ble konstruert etter intervjuene og datamaterialet var grundig gjennomgått, noe som gjør analysen induktiv. Meningsenhetene presenterer hovedfunnene fra intervjuene på slikt vis at de kan diskuteres opp imot forskningsspørsmålene. Funnene fra analysen viste at lærerne i stor grad oppfatter relasjonell forståelse som å både vite hvordan, men også hvorfor matematiske algoritmer og prosedyrer er slik de er. Undervisings- og vurderingsmetodene lærerne bruker for å utvikle og måle relasjonell forståelse var også ganske unison, da matematisk diskusjon og utforskende oppgave ble presentert som mest hensiktsmessige. Organisatoriske utfordringer som mangel på tid og ressurser ble presentert som hemmende faktorer i arbeidet til lærerne.

Denne masteroppgaven er en analyse av læreverket Dragonbox for 1. trinn, og er knyttet til forskningsprosjektet Sammenligning og Måling av Størrelser (SMS) ved Universitetet i Agder. Med utgangspunkt i dette prosjektet undersøker jeg hvordan sammenligning og måling kommer til uttrykk i et læreverk elevene allerede møter. Gjennom analysen av oppgavene som omhandler sammenligning og måling, var det tre forhold som pekte seg ut og ledet frem til studiens tre forskningsspørsmål: 1.Hvilke representasjoner brukes i læreverket Dragonbox for 1. trinn? 2.Hvordan kommer bruk av enhet til uttrykk i læreverket Dragonbox for 1. trinn? 3.Hvordan fremstilles representasjoner og enhet i den digitale elevressursen sammenlignet med Mattestreker 1A og 1B i læreverket Dragonbox for 1. trinn? Studien bygger på teoretiske perspektiver om interne og eksterne representasjonssystemer (Goldin, 1998), om kategorisering av representasjoner (Solem & Alseth, 2023), om enhetsbegrepet (Sophian, 2017) og om femmerstrukturen (Neuman, 1992). Studien er en kvalitativ dokumentanalyse av elevmaterialet, basert på Charalambous et al. (2010) sin tilnærming til lærebokanalyse, kombinert med Mayrings (2015) kvalitative innholdsanalyse. Analysearbeidet er gjennomført i to faser. Først en horisontal analyse av oppgavene, og så en vertikal analyse av representasjonene. Analysen viser at læreverket benytter et bredt spekter av representasjoner, der noomene er den mest gjennomgående, men ofte opptrer sammen med andre. Én som enhet dominerer, mens få oppgaver legger eksplisitt opp til andre enheter. De samme representasjonene brukes i begge formatene, men den digitale er mer dynamisk og gir umiddelbar respons, mens Mattestreker 1A og 1B fungerer som statisk støtte.

Mestringstro kan beskrives som troen en person har til sine ferdigheter til å gjennomføre en spesifikk oppgave. Siden høy mestringstro fører til høyere motivasjon hos elevene, er det viktig å kjenne til hvilke valg lærere kan ta med tanke oppgaver. Disse valgene tas for å best tilrettelegge for elevenes egen tillit til gjennomføringsevne. På dette grunnlaget har følgende problemstilling blitt utformet: "Hva kjennetegner 8. trinnselevers mestringstro til forskjellige matematikkoppgaver og oppgavenes særtrekk?" Gjennom denne kvalitative studien intervjuet vi ti norske 8. trinnselever for å finne ut hva som lå bak deres mestringstro til tre forskjellige oppgavetyper innenfor matematikk: intramatematiske oppgaver, tekstoppgaver og modelleringsoppgaver. Vi tok i bruk en tematisk analyse ved å se etter mønstre i elevenes uttalelser, og fant at oppgavens kompleksitet og hvor relevant elevene opplevde oppgaven var viktige faktorene for elevenes mestringstro. Studien er inspirert av en kvantitativ studie gjennomført av Krawitz og Schukajlow (2018) i Tyskland, som målte hvorvidt elever verdsatte oppgaver og hvilken mestringstro de hadde til gjennomføring av de oppgavene.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan elever i matematikk 1P forklarer fremgangsmåter ved løsning av lineære likninger. Formålet er å få innsikt i hvordan elevers forklaring varierer, og hvordan disse variasjonene kan forstås i lys av teori om strategibruk og matematisk forståelse. Datamaterialet består av 76 skriftlige elevbesvarelser hvor elevene forklarer løsningen av en lineær likning til en medelev. Besvarelsene er analysert ved hjelp av et kodebasert rammeverk av Larson (2024) som kategoriserer ulike typer forklaringer, blant annet strategibruk, målsetting og grad av generalitet. Analysen viser at forklaringer i stor grad er preget av prosedurale fremgangsmåter, der målet ofte uttrykkes som å samle variabler og tall på hver sin side av likningen. Samtidig er det få elever som eksplisitt formulerer det konseptuelle målet om å bestemme verdien av den ukjente variabelen. Videre viser resultatene at elevene benytter både strategien «Swap Sides Swap Signs» (SSSS) og «Do the Same to Both Sides» (DSBS), og at mange kombinerer disse i samme forklaring. Selv om flere elever viser tegn til strategisk fleksibilitet ved å bruke ulike fremgangsmåter, fremstår forklaringene ofte som lite begrunnede. Strategiene brukes i mange tilfeller som huskeregler, uten kobling til underliggende matematiske prinsipper, særlig ekvivalens. Dette tyder på at fleksibiliteten i strategibruk ikke nødvendigvis henger sammen med en dypere begrepsforståelse. Oppgaven understreker betydningen av undervisning som legger til rette for sammenligning av strategier og refleksjon over hvorfor de fungerer, for å støtte utviklingen av en mer relasjonell forståelse av likninger.

PRIMM er et rammeverk utviklet for å strukturere programmeringsundervisning. Selv om rammeverket hovedsakelig er utviklet for programmering, er det uklart hvorvidt PRIMM kan støtte elevers læring av matematikk i arbeid med programmering. Denne studien undersøker hvordan elever på 9. trinn utvikler måter å bruke programmering på for å estimere sannsynlighet gjennom programmeringsbaserte simuleringsoppgaver strukturert etter PRIMM. Studien søker å besvare følgende forskningsspørsmål: Hvordan kan PRIMM-strukturerte oppgaver fungere som en arena for at elever på 9. trinn lærer å bruke programmering til å estimere sannsynlighet gjennom simulering? For å besvare dette spørsmålet, har det blitt gjennomført en casestudie bestående av to semistrukturerte intervjuer med to 9. trinns elever. Intervjuene ble analysert gjennom en kvalitativ deduktiv innholdsanalyse, som bygger på instrumentell genesis og Vergnauds fire skjemakomponenter. Funnene indikerer at elevene utviklet forståelser for simulering som eksperimentell sannsynlighet, relativ frekvens som estimat av sannsynlighet og begynnende intuitive forståelser av store talls lov. Samtidig, fremstod elevens forståelse av flere programmeringsstrukturer som ustabile, der særlig knyttet til variabler og betingelser. Til tross for dette, brukte elevene programstrukturen som grunnlag til å løse nye simuleringsoppgaver. Studien bidrar med innsikt i hvordan PRIMM-strukturerte simuleringsoppgaver kan fungere som en arena for utvikling av instrumenterte handlingsskjemaer knyttet til simulering og estimering av sannsynlighet. English version: PRIMM is a framework developed to structure programming instruction. Although the framework was primarily designed for teaching programming, it remains unclear to what extent PRIMM can support students’ learning of mathematics through programming activities. This study investigates how ninth-grade students develop ways of using programming to estimate probability through programming-based simulation tasks structured according to PRIMM. The study seeks to answer the following research question: How can a PRIMM-structured task function as an arena for ninth-grade students to learn to use programming to estimate probability through simulation? To answer this question, a case study consisting of two semi-structured interviews with two ninth-grade students was conducted. The interviews were analysed through a qualitative deductive content analysis based on instrumental genesis and Vergnaud’s four scheme components. The findings indicate that the students developed understandings of simulation as experimental probability, relative frequency as an estimate of probability, and emerging intuitive understandings of the law of large numbers. At the same time, the students’ understanding of several programming structures appeared unstable, particularly the relation to variables and conditional statements. Despite this, the students used the program structure as a basis for solving new simulation tasks. The study contributes with insight into how PRIMM-structured simulation tasks can function as an arena for the development of instrumented action schemes related to simulation and probability estimation.

Denne studien er en casestudie av 6 elever i R1-matematikk sine begrepsbilder om og forståelse av derivasjon. Forståelse ble undersøkt gjennom en linse av lag av prosess-objekt-par, som betyr at ulike deler som den deriverte består av både kan beskrives som en prosess og et objekt. Både aspekter ved derivasjon som konsept og som en mengde innlærte prosedyrer ble undersøkt. Studien ble gjennomført ved en videregående skole på Agder. Utvalget av skole og klasse var basert på tildeling og tilgjengelighet. En spørreskjemaundersøkelse bestående av velkjente rutine og konseptoppgaver, var grunnlag for utvalget av intervjuobjekter fra klassen. Klassen bestod av 16 elever, hvorav 6 ble utvalgt til et semistrukturert og delvis oppgavebasert intervju. Intervjuet benyttet seg av tenk-høyt metoder og varte omtrent 25 minutter. Analysering av data var gjort med utgangspunkt i en tematisk analyse, som resulterte i de fire temaene 1) den deriverte og rate, 2) den deriverte som grense, 3) den deriverte som funksjon og 4) derivasjon og rutine. De tre første temane er i samsvar med et av oppgavens rammeverk. Elevenes forståelse ble regnet som enkeltcaser, men analysert for å kunne beskrive alle seks elevenes begrepsbilder og prosess-objekt-forståelse mer helhetlig. Resultatet av studien innebar ulike utfordringer knyttet til begrepsbilder og konseptforståelse. I forbindelse med rate strevde flere av elevene med termen "Delta y delt på Delta x". De utfordringene elevene viste med tanke på den deriverte som grense innebar at prosess- og objektbeskrivelser manglet detaljer. Her var det også brukt ulike metaforer. Med tanke på den deriverte som funksjon viste elevene at teknisk derivasjon av symbolske funksjonsuttrykk ikke var utfordrende, samtidig var det konverteringsutfordringer mellom grafiske og symbolske representasjonsformer. I forbindelse med derivasjon og rutine kunne ingen av elevene begrunne derivasjonsreglene.

Denne masteroppgaven undersøker hvilken informasjon kartleggingsverktøyet FAM og tre utvalgte deltester fra Adlers matematikkscreening kan gi om matematikkferdigheter hos elever i 1P-Y. Studien undersøker også hvordan resultatene fra verktøyene samvarierer. Bakgrunnen for studien er behovet for mer kunnskap om hvordan kartlegging kan bidra til å identifisere ulike sider ved elevers matematikkferdigheter, særlig i en elevgruppe med varierende erfaringer og forutsetninger i matematikk. Studien har et kvantitativ tverrsnittdesign. Datamaterialet består av testresultater fra 21 elever i 1P-Y ved en videregående skole. Elevene gjennomførte FAM og tre utvalgte deltester fra Adler: färdighetstest i matematik versjon E, talserier i matematik og utvikning av geometriska kroppar. Dataene ble analysert ved hjelp av deskriptiv statistikk og korrelasjonsanalyse med Spearmans ρ. Resultatene viser at FAM og Adler gir både overlappende og ulik informasjon om elevgruppens matematikkferdigheter. FAM-resultatene indikerer at elevgruppen samlet sett presterer under normgjennomsnittet, mens Adler-resultatene gir et mer gjennomsnittlig bilde sammenlignet med tilgjengelige normgrunnlag. Korrelasjonsanalysene viser sterkest sammenheng mellom FAM og deltestene färdighetstest i matematik versjon E og talserier i matematik, mens sammenhengen med utvikning av geometriska kroppar er svakere. Dette tyder på at verktøyene delvis fanger opp overlappende ferdighetsområder knyttet til tallbehandling, regneferdigheter og numerisk sekvensering, men også at de gir ulik informasjon om elevgruppen. Funnene må tolkes med varsomhet på grunn av lite utvalg, ulikt normgrunnlag og forskjeller i dokumentasjonsgrunnlaget for verktøyene. Studien viser likevel at kartlegging kan gi nyttig informasjon om elevers styrker og utfordringer, forutsatt at resultatene tolkes i lys av testens innhold og den matematikkdidaktiske konteksten i 1P-Y.

Sammendrag Denne masteroppgaven er en kvalitativ studie som undersøker hvordan elevers forståelse av det bestemte integralet kommer til uttrykk. Studien bygger på fem R2-elevers besvarelser i oppgavebaserte intervjuer, med mål om å undersøke hvordan de forstår det bestemte integralet. Kapittel 1 presenterer grunnlaget for problemstillingen og forskningsspørsmålene. Her redegjøres det for hva studien undersøker, med utgangspunkt i både et teoretisk og et personlig grunnlag. Kapittel 2 presenterer de teoretiske rammeverkene og teoriene som masteroppgaven bygger på. Kapittelet tar for seg rammeverket til Jones (2013, 2015), som viser hvordan det bestemte integralet kan forstås som en antiderivert, et areal eller en summasjon av rektangler. Videre brukes Duvals (1999) teori om representasjoner for å analysere hvilke representasjoner elevene bruker, og hvordan de transformerer mellom dem. Kapittel 3 presenterer metoden som er benyttet i studien. Studien er en kvalitativ kasusstudie basert på en kartleggingstest og fem oppgavebaserte semistrukturerte intervjuer. Analysen av intervjuene ble utført med en tematisk analyse, basert på Braun og Clarke (2012). Kapittelet drøfter også studiens troverdighet og etiske betraktninger. Kapittel 4 vil presentere elevenes besvarelser gjennom intervjuene. Besvarelsene presenteres i fire deler som best mulig skaper en overordnet idé av hvordan elevenes forståelse kommer til uttrykk. Kapittel 5 oppsummerer funnene fra analysen. Funnene drøftes i lys av studiens teoretiske rammeverk. Kapittelet ser nærmere på hvilke av Jones’ perspektiver elevene bruker mest, hvilke representasjoner elevene benytter seg av, og hvilke konverteringer mellom representasjonsformer de mestrer eller har utfordringer med. Kapittel 6 besvares problemstillingen og forskningsspørsmålene, og presenterer studiens implikasjoner for undervisning og videre forskning. Studiens hovedfunn er at elevenes forståelse av det bestemte integralet er fleksibel. Areal- og antiderivasjonsperspektivene er dominerende, men elevene klarer også å benytte summasjonsperspektivet i oppgaver hvor dette fremkalles. Representasjonene spiller en viktig rolle i hvordan elevenes forståelse kommer til uttrykk, og representasjonsbruken varierer avhengig av hvilket perspektiv elevene befinner seg i. Summary This master’s thesis is a qualitative study that investigates how students’ understanding of the definite integral is expressed. The study is based on five R2-students’ responses and explanations in task-based interviews, with the aim of examining how they understand the definite integral. Chapter 1 presents the foundation for the research problem and the research questions. The chapter explains what the study investigates, based on both theoretical and personal foundations. Chapter 2 presents the theoretical framework and theories on which the thesis is based on. The main framework is Jones’ (2013, 2015) perspectives on the definite integral, which describes how the definite integral can be understood as an antiderivative, as an area and as a summation of rectangles. Duval’s (1999) theory of representations is also used to analyze which representations students use, and how they transform between them. Chapter 3 presents the methodology used in this study. The study is a qualitative case study which is based on a screening test and five task-based semi-structured interviews. The interview data were analyzed using thematic analysis based on Braun and Clarke (2012). This chapter will present the study’s trustworthiness and ethical evaluations will be discussed. Chapter 4 presents the students’ responses from the interviews. The responses are presented in a matter to best illustrate the understanding of the students. Chapter 5 summarizes the findings from the analysis. The findings are discussed in light of the theoretical frameworks used in the study. It will discuss which of Jones’ perspectives were most frequently used by the students, and in which contexts they were used. It also discusses how the students transform between representations, based on Duval’s theory. Chapter 6 answers the research problem and the research questions and presents implications for teaching and further research. The main finding of the study is the students’ understanding of the definite integral is flexible. The area and antiderivative perspectives dominate their explanations, but the students are also able to use the summation perspective in tasks that evoke it. Representations play a key part in how the students’ understanding is expressed, and their use of the representations varies depending on the perspective activated by the task.

Programmering kom inn i læreplanen i matematikk med LK20, der eit av kompetansemåla i matematikk 1T handlar om at programmeringa skal brukast til å formulere og løyse matematiske problem. Denne oppgåva handlar om korleis programmeringa er integrert i matematikk 1T. Forskingsspørsmåla er 1) Kva omsyn tek ei gruppe lærarar i matematikk 1T i planlegginga av programmeringsundervisninga?, og 2) Korleis er forholdet mellom matematikk og programmering i programmeringsoppgåvene dei har brukt? For å undersøkje dette er det gjennomført ei kvalitativ casestudie, der tre lærarar som har brukt det same oppgåvesettet på 24 programmeringsoppgåver, er intervjua om kva dei tek omsyn til når dei vel ut oppgåver til programmeringsundervisninga, og korleis dei legg opp denne. Intervjua er analysert induktivt med refleksiv tematisk analyse, der temaa vert generert frå dataa. Oppgåvesettet er analysert deduktivt opp mot Kilhamn et al. (2021) sitt rammeverk, der forholdet mellom matematikk og programmering er skildra i fire kategoriar etter i kor stor grad programmeringa og matematikken vert knytt saman. Det er fire hovudfunn relatert til det første forskingsspørsmålet: 1) Programmeringsopplæringa må byrje grunnleggjande, 2) Programmering vert nedprioritert grunna lite opplevd relevans, 3) Målet er å bruke programmering som verktøy, 4) Det er føremålstenleg å bruke oppgåvene i læreboka. For det andre forskingsspørsmålet er 23 av dei 24 oppgåvene i oppgåvesettet, 96%, plassert i kategorien der matematikken berre er kontekst for programmeringa. Den siste oppgåva kom i kategorien der programmeringa er brukt som verktøy for utforske matematikk. Resultata tilseier at programmeringa i lita grad er integrert i matematikk 1T, og at lærarane slit med å finne ein nyttig måte å gjere dette på.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan elever i matematikk 1P arbeider med Fermi-problemer i grupper. Studien tar utgangspunkt i følgende forskningsspørsmål: Hva karakteriserer 1P-elevers arbeid med Fermi-problemer i grupper? Studien er en kvalitativ casestudie gjennomført i en 1P-klasse på videregående skole. Datamaterialet består av videoopptak, transkripsjoner, observasjoner og elevarbeid fra én undervisningsøkt, der ni elever fordelt på tre grupper arbeidet med to Fermi problemer. Analysen bygger på Blum og Leiß sin modelleringssyklus. Funnene viser at elevene ofte starter med en enkel løsning før de gradvis utvikler mer komplekse strategier. Arbeidet følger ikke modelleringssyklusen lineært, men kjennetegnes av at elevene beveger seg mellom ulike faser. Elevene gjør mange antakelser, men kvaliteten på antakelsene avhenger av hvor kjent konteksten er for dem. Oppgaven knyttet til klasserommet ga bedre muligheter for måling og fysisk utforsking enn oppgaven om bilkø. Studien viser også at elevene validerer løsningene sine underveis, men at valideringen ofte er kort. Samtaler med medelever og spørsmål fra observatører bidrar til at elevene videreutvikler løsningene sine. Samtidig påvirker elevenes matematiske ferdigheter arbeidet, særlig ved estimering, arealforståelse og bruk av regnearter. Samlet viser studien at Fermi-problemer kan legge til rette for samarbeid, engasjement og matematisk diskusjon i 1P-undervisningen. Funnene peker samtidig på betydningen av å velge oppgaver som er virkelighetsnære fra elevenes perspektiv.

Vi vil i denne oppgaven kartlegge algoritmisk tekning hos elevgrupper på 9.trinn, gjennom et analogt og et digitalt verktøy. Algoritmisk tekning er en del av læreplanen og vi ser det derfor som nødvendig å se hvordan dette forekommer i dagens klasserom. Tidligere forskning viser til at algoritmisk tenkning i en undervisningskontekst er et felt det trengs videre forskning på. Vi ønsker derfor å kartlegge algoritmisk tenkning i lys av noen sentrale elementer i undervisning. I denne oppgaven vil vi derfor besvare forskningsspørsmålene; 1) Hva karakteriserer veiledning som fører til algoritmisk tekning på Scratch og vertikale tavler? og 2) Hva karakteriserer elev-elev diskusjon som fører til algoritmisk tekning på Scratch og vertikale tavler? Dette belyses gjennom et rammeverk utarbeidet av Boom og kolleger (2022). Dette rammeverket består av komponentene; abstraksjon, dekomponering, algoritmisk design og mønstergjenkjenning. For å svare på forskningsspørsmålene har vi gjennomført en kvalitativ enkeltcase studie. Vi utviklet to oppgaver som elevene løste i grupper på to elever. Under innsamlingen var vi fullstendig deltagende observatører. Vi samlet inn video- og lydopptak som i etterkant ble analysert gjennom en tematisk analyse. Resultatene i denne forskningen viser at både veiledning og diskusjon er sentrale elementer for forekomsten av algoritmisk tenkning. Veiledning som gis med utvidelser og tips som hever elevenes kompetanse støtter spesielt opp dette. Det samme gjelder for reaktive og pseudo interaksjonssekvenser. Innenfor veiledning ser vi at måten læreren stiller spørsmål på har betydning for hvilken komponent av algoritmisk tekning som forekommer. Vi håper at vår forskning kan bidra til å kartlegge algoritmisk tenkning og bidra med spesifikke strategier som kan hjelpe lærere i planlegging og gjennomføring av undervisning rundt temaet. Dette håper vi at kan trygge lærere i møte med algoritmisk tenkning.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan elever i matematikk 1P arbeider med Fermi-problemer i grupper. Studien tar utgangspunkt i følgende forskningsspørsmål: Hva karakteriserer 1P-elevers arbeid med Fermi-problemer i grupper? Studien er en kvalitativ casestudie gjennomført i en 1P-klasse på videregående skole. Datamaterialet består av videoopptak, transkripsjoner, observasjoner og elevarbeid fra én undervisningsøkt, der ni elever fordelt på tre grupper arbeidet med to Fermiproblemer. Analysen bygger på Blum og Leiß sin modelleringssyklus. Funnene viser at elevene ofte starter med en enkel løsning før de gradvis utvikler mer komplekse strategier. Arbeidet følger ikke modelleringssyklusen lineært, men kjennetegnes av at elevene beveger seg mellom ulike faser. Elevene gjør mange antakelser, men kvaliteten på antakelsene avhenger av hvor kjent konteksten er for dem. Oppgaven knyttet til klasserommet ga bedre muligheter for måling og fysisk utforsking enn oppgaven om bilkø. Studien viser også at elevene validerer løsningene sine underveis, men at valideringen ofte er kort. Samtaler med medelever og spørsmål fra observatører bidrar til at elevene videreutvikler løsningene sine. Samtidig påvirker elevenes matematiske ferdigheter arbeidet, særlig ved estimering, arealforståelse og bruk av regnearter. Samlet viser studien at Fermi-problemer kan legge til rette for samarbeid, engasjement og matematisk diskusjon i 1P-undervisningen. Funnene peker samtidig på betydningen av å velge oppgaver som er virkelighetsnære fra elevenes perspektiv.

Vi vil i denne oppgaven kartlegge algoritmisk tekning hos elevgrupper på 9.trinn gjennom et analogt og et digitalt verktøy. Algoritmisk tekning er en del av læreplanen og vi ser det derfor som nødvendig å se hvordan dette forekommer i dagens klasserom. Tidligere forskning viser til at algoritmisk tenkning i en undervisningskontekst er et felt det trengs videre forskning på. Vi ønsker derfor å kartlegge algoritmisk tenkning i lys av noen sentrale elementer i undervisning. I denne oppgaven vil vi derfor besvare forskningsspørsmålene; 1) Hva karakteriserer veiledning som fører til algoritmisk tekning på Scratch og vertikale tavler? og 2) Hva karakteriserer elev-elev diskusjon som fører til algoritmisk tekning på Scratch og vertikale tavler?Dette belyses gjennom et rammeverk utarbeidet av Boom og kolleger (2022). Dette rammeverket består av komponentene; abstraksjon, dekomponering, algoritmisk design og mønstergjenkjenning. For å svare på forskningsspørsmålene har vi gjennomført en kvalitativ enkeltcase studie. Vi utviklet to oppgaver som elevene løste i grupper på to elever. Under innsamlingen var vi fullstendig deltagende observatører. Vi samlet inn video- og lydopptak som i etterkant ble analysert gjennom en tematisk analyse. Resultatene i denne forskningen viser at både veiledning og diskusjon er sentrale elementer for forekomsten av algoritmisk tenkning. Veiledning som gis med utvidelser og tips som hever elevenes kompetanse støtter spesielt opp dette. Det samme gjelder for reaktive og pseudo interaksjonssekvenser. Innenfor veiledning ser vi at måten læreren stiller spørsmål på har betydning for hvilken komponent av algoritmisk tekning som forekommer. Vi håper at vår forskning kan bidra til å kartlegge algoritmisk tenkning og bidra med spesifikke strategier som kan hjelpe lærere i planlegging og gjennomføring av undervisning rundt temaet. Dette håper vi at kan trygge lærere i møte med algoritmisk tenkning.

Denne masteroppgaven undersøker hvilken informasjon kartleggingsverktøyet FAM og tre utvalgte deltester fra Adlers matematikkscreening kan gi om matematikkferdigheter hos elever i 1P-Y. Studien undersøker også hvordan resultatene fra verktøyene samvarierer. Bakgrunnen for studien er behovet for mer kunnskap om hvordan kartlegging kan bidra til å identifisere ulike sider ved elevers matematikkferdigheter, særlig i en elevgruppe med varierende erfaringer og forutsetninger i matematikk. Studien har et kvantitativ tverrsnittdesign. Datamaterialet består av testresultater fra 21 elever i 1P-Y ved en videregående skole. Elevene gjennomførte FAM og tre utvalgte deltester fra Adler: färdighetstest i matematik versjon E, talserier i matematik og utvikning av geometriska kroppar. Dataene ble analysert ved hjelp av deskriptiv statistikk og korrelasjonsanalyse med Spearmans ρ. Resultatene viser at FAM og Adler gir både overlappende og ulik informasjon om elevgruppens matematikkferdigheter. FAM-resultatene indikerer at elevgruppen samlet sett presterer under normgjennomsnittet, mens Adler-resultatene gir et mer gjennomsnittlig bilde sammenlignet med tilgjengelige normgrunnlag. Korrelasjonsanalysene viser sterkest sammenheng mellom FAM og deltestene färdighetstest i matematik versjon E og talserier i matematik, mens sammenhengen med utvikning av geometriska kroppar er svakere. Dette tyder på at verktøyene delvis fanger opp overlappende ferdighetsområder knyttet til tallbehandling, regneferdigheter og numerisk sekvensering, men også at de gir ulik informasjon om elevgruppen. Funnene må tolkes med varsomhet på grunn av lite utvalg, ulikt normgrunnlag og forskjeller i dokumentasjonsgrunnlaget for verktøyene. Studien viser likevel at kartlegging kan gi nyttig informasjon om elevers styrker og utfordringer, forutsatt at resultatene tolkes i lys av testens innhold og den matematikkdidaktiske konteksten i 1P-Y.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan elever i matematikk 1P forklarer fremgangsmåter ved løsning av lineære likninger. Formålet er å få innsikt i hvordan elevers forklaring varierer, og hvordan disse variasjonene kan forstås i lys av teori om strategibruk og matematisk forståelse. Datamaterialet består av 76 skriftlige elevbesvarelser hvor elevene forklarer løsningen av en lineær likning til en medelev. Besvarelsene er analysert ved hjelp av et kodebasert rammeverk av Larson (2024) som kategoriserer ulike typer forklaringer, blant annet strategibruk, målsetting og grad av generalitet. Analysen viser at forklaringer i stor grad er preget av prosedurale fremgangsmåter, der målet ofte uttrykkes som å samle variabler og tall på hver sin side av likningen. Samtidig er det få elever som eksplisitt formulerer det konseptuelle målet om å bestemme verdien av den ukjente variabelen. Videre viser resultatene at elevene benytter både strategien «Swap Sides Swap Signs» (SSSS) og «Do the Same to Both Sides» (DSBS), og at mange kombinerer disse i samme forklaring. Selv om flere elever viser tegn til strategisk fleksibilitet ved å bruke ulike fremgangsmåter, fremstår forklaringene ofte som lite begrunnede. Strategiene brukes i mange tilfeller som huskeregler, uten kobling til underliggende matematiske prinsipper, særlig ekvivalens. Dette tyder på at fleksibiliteten i strategibruk ikke nødvendigvis henger sammen med en dypere begrepsforståelse. Oppgaven understreker betydningen av undervisning som legger til rette for sammenligning av strategier og refleksjon over hvorfor de fungerer, for å støtte utviklingen av en mer relasjonell forståelse av likninger.

Denne masteroppgaven undersøker elevers bruk av representasjoner i arbeid med brøk gjennom utforskende grubletegninger i matematikk. Formålet med studien er å få bedre innsikt i hvilke representasjoner elevene på 7. og 10. trinn tar i bruk når de arbeider med brøkoppgaver, og hvordan representasjonene anvendes og begrunnes i samarbeid med andre elever. Studiens problemstilling retter dermed fokus mot hvilke likheter og ulikheter det er i representasjonsbruken til elevene på 7. og 10. trinn i arbeid med grubletegninger knyttet til temaet brøk. For å kunne svare på denne problemstillingen har vi utviklet følgende forskningsspørsmål: 1. Hvilke representasjoner foretrekker elevene på 7. og 10. trinn å bruke i arbeid med grubletegninger knyttet til temaet brøk, og hvorfor? 2. Hvilke representasjoner benytter elevene på 7. og 10. trinn på en hensiktsmessig måte i arbeidet med grubletegningene knyttet til temaet brøk, og hvordan benyttes de? Studien er basert på et kvalitativt forskningsdesign der datamaterialet ble samlet inn gjennom observasjon som hoved datakilde og semistrukturerte intervjuer ble brukt som et supplement for å utdype og støtte funnene i observasjonene. Utvalget i studien besto av totalt tolv elever fra Sør-Norge, fordelt på seks elever fra én 7. klasse og seks elever fra én 10. klasse. Elevene arbeidet i grupper på tre, hvor de arbeidet med egenutviklede grubletegninger knyttet til brøk. I arbeidsprosessen hadde elevene tilgang til ulike hjelpemidler, herunder brøkbrikker, brøktårn, tallinje, numicon, unifixbrikker og papir og blyant. Analysen viser at elevene på 7. trinn hovedsakelig benyttet papir og blyant som støtte for å uttrykke den symbolske representasjonsformen, mens elevene på 10. trinn i større grad utforsket og kombinerte ulike representasjoner. Videre viser analysen at elevene på 7. trinn i større grad brukte representasjonene som støtte for å utvikle forståelse, mens elevene på 10. trinn oftere anvendte representasjonene som støtte for allerede etablert kunnskap. Funnene viser videre at elevene på 10. trinn generelt hadde større representasjonskompetanse, særlig når det gjaldt å koble representasjonene til oppgavenes matematiske struktur å bruke dem hensiktsmessig i oppgaveløsningen.

Denne studien undersøker hvilke representasjoner elever på 1. trinn tar i bruk i arbeid med én problemløsningsoppgave i konteksten av et tenkende klasserom. Det rettes også søkelys mot hvilke overganger mellom og bearbeidinger av representasjonene elevene bruker. Studien har som mål å undersøke et tema som både er faglig relevant og praksisnært for fremtidig lærerarbeid. I denne kvalitative studien er datamateriale samlet inn fra syv elevpar fra en 1. klasse på en skole i Sør-Norge. Datainnsamlingen ble gjennomført ved hjelp av video- og lydopptak, som deretter ble transkribert. Datamaterialet er analysert ved hjelp av to analytiske rammeverk. Det første rammeverket ble brukt til å undersøke hvilke representasjoner elevene brukte, mens det andre ble brukt for å identifisere hvilke overganger og bearbeidinger mellom og av de ulike representasjonene. Resultatene viser at verbal representasjon er den mest dominerende representasjonen, og at overgangen mellom representasjonene verbal og visuell modellering forekom hyppigst. Videre fremheves det at bruk av ulike representasjoner er essensielt i begynnende addisjon. Resultatene synliggjør behovet for å støtte elevenes utvikling i bruk av flere representasjoner, særlig i tidlige faser av matematikkopplæringen.

Målet med masteroppgaven vår er å få et innblikk i hvilke strategier som kan forekomme når elever på 3. trinn arbeider med problemløsningsoppgaver i et tenkende klasserom. Elevene arbeider i denne studien med tre ulike problemløsningsoppgaver og vi undersøker hva slags strategier som oppstår i denne prosessen ved å besvare forskningsspørsmålet: Hvilke strategier bruker elever på 3. trinn når de løser problemløsningsoppgaver i matematikk i et tenkende klasserom? Masteroppgaven vår er en kvalitativ studie der vi har observert seks grupper på 3. trinn ved hjelp av video- og lydopptak. Vi har i denne studien valgt å vektlegge strategibruken til tre av disse gruppene. Datainnsamlingen foregikk over tre økter, fordelt på tre dager, i en periode på tre uker. Vi har i ettertid transkribert alt datamaterialet vårt, men kun analysert arbeidet til de tre gruppene vi valgte å legge vårt fokus på. Elevene arbeidet i denne perioden med tre ulike problemløsningsoppgaver som ble fordelt utover dagene. Oppgavene som ble gjennomført het “Hvor mange bein?”, “Selskapsbord” og “I Fornøyelsesparken”. Disse er hentet fra Liljedahl og Giroux (2024) sin bok “Matematikkoppgaver for tenkende klasserom 1. - 6. trinn”. Resultatene til de tre gruppene viser at de bruker til sammen 11 forskjellige strategier i problemløsningsprosessen. Strategibruken varierte mellom gruppene i de ulike oppgavene, men vi så også noen fellestrekk blant dem. Særlig “skjematisk tegning”, "telling fra én” og “gjett og sjekk” var strategier som forekom hyppig. Enkelte av gruppene tok også i bruk strategier som “gruppering”, “telle videre” og “konkret tegning”.

I denne oppgaven skal vi bruke den stokastiske Landau-Lifschitz-Gilbert-likninga (SLLG) (kapittel \ref{kap:LLG}) for å se på forskjellige tema innen stokastisk analyse, numeriske metoder og regresjonsmodeller. Denne stokastiske differensiallikninga beskriver hvordan spinnretningene til elektroner i et ferromagnetisk materiale endrer seg over tid.

Sammendrag Denne masteroppgaven undersøker hvordan elever arbeidet med sammenligning av lengder gjennom aktiviteten, Skjerffabrikken. Aktiviteten ble utviklet med hensikt å legge til rette for sammenligningsarbeid i en lekpreget kontekst. Elevene arbeidet i grupper på tre til fire elever, hvor én av oss hadde rollen som lærer i gjennomføringen. Studien tar utgangspunkt i følgende forskningsspørsmål: Hva karakteriserer 2. trinns elevers arbeid med sammenligning av lengder i en lekbasert kontekst? Teoretisk tar studien utgangspunkt i et sosiokulturelt læringssyn, hvor sosial samhandling står sentralt (Faldet et al., 2023, s. 10–11). Videre bygger studien bygger på teori om sammenligning av lengder, problemløsning, bruk av konkreter, språk og lekbasert læring. Studien er en casestudie med observasjon som metode. Aktiviteten ble totalt gjennomført 16 ganger. Det inkluderte en pilotgjennomføring og en datainnsamling. Tre av de syv gruppene i datainnsamlingen ble analysert inngående. I analysearbeidet utviklet vi et analyseverktøy inndelt i fire kategorier: språkbruk, nonverbal kommunikasjon, grov sammenligning og direkte sammenligning. Resultatene av analysen viste at elevenes arbeid i denne konteksten var karakterisert av en problemløsningsprosess. Innenfor denne prosessen brukte elevene konkretene som støtte i utsagn og argumentasjon, blant annet gjennom nonverbal kommunikasjon og pekeord. Konkretene fungerte også som et felles holdepunkt når elevene tok i bruk ulike fremgangsmåter, som grov- og direkte sammenligning. Samlet sett viser våre resultater at en aktivitet i en lekpreget kontekst kan gi elevene mulighet til å bruke konkreter, språk og samhandling som støtte i arbeid med problemløsning og sammenligning av lengder.

Resonnering og argumentasjon er et sentralt kjerneelement i dagens læreplan, og anses som grunnleggende for elevers matematiske tenkning og utvikling. Denne masteroppgaven er en kvalitativ casestudie som undersøker elevers matematiske resonnering, med utgangspunkt i Jeannotte og Kierans forståelse av resonnering, forankret i Sfard sitt syn på tenkning og kommunikasjon som gjensidige prosesser. Formålet med studien er å forstå hvordan elever uttrykker matematisk resonnering i møte med tre ulike matematiske oppgaver. Studien tar utgangspunkt i problemstillingen: Hvordan uttrykker elevgrupper på 6. trinn matematisk resonnering i arbeid med tre rike matematiske oppgaver? For å belyse dette er det formulert to forskningsspørsmål knyttet til hvordan resonneringsprosessene til Jeannotte og Kieran kommer til uttrykk, og hvordan disse varierer i møte med tre ulike oppgaver. Datamaterialet er innhentet gjennom observasjon av 14 elever organisert i tre grupper, komplementert av tre semistrukturerte elevintervju. Elevenes muntlige utsagn er transkribert gjennom video- og lydopptak, og deres skriftlige besvarelser er inkludert i analysen. Materialet er analysert ved hjelp av et forhåndsdefinert analytisk verktøy basert på Jeannotte og Kierans resonneringsprosesser. Funnene viser at elever på 6. trinn i stor grad uttrykker resonnering gjennom prosesser knyttet til søk etter likheter og ulikheter, med vekt på identifisering av mønstre, sammenligning og hypotesedanning. Samtidig har elevene utfordringer med prosesser tilknyttet validering, ved at de i begrenset grad forklarer, begrunner og validerer gyldigheten av matematiske påstander. Studien peker på en misoppfatning der eksemplifisering tillegges en bevisførende funksjon. Videre indikerer funnene at oppgavens utforming, kontekst og bruk av representasjoner har betydning for hvilke resonneringsprosesser som kommer til uttrykk. Studien viser at elevenes resonnering i hovedsak er empirisk forankret og preget av begrenset deduktiv resonnering. På den måten understrekes behovet for undervisning som ikke bare legger til rette for utforskning, men også støtter elevenes deduktive resonnering og validering. Lærerens valg av oppgaver og vektlegging av slike prosesser i undervisning fremstår avgjørende for elevenes videre utvikling av matematisk resonnering.

Matematisk modellering er forankret som et kjerneelement i læreplanverket LK20, der elevene skal utvikle evnen til å bruke matematikk til å beskrive og forstå virkeligheten. Til tross for denne forankringen viser forskning et vedvarende gap mellom læreplanens ambisjoner og det som faktisk realiseres i klasserommet. Denne flercasestudien undersøker hvordan matematikklæreres arbeid med matematisk modellering på ungdomstrinnet kan forstås i lys av samspillet mellom lærernes forståelse, undervisningspraksis og forhold som påvirker arbeidet. Studien har et kvalitativt design, der datamaterialet er samlet inn gjennom klasseromsobservasjon og semi-strukturerte intervjuer med tre lærere ved ungdomsskoler i Agder. Antropologisk teori om det didaktiske (ATD) er benyttet som analytisk rammeverk, med vekt på begrepene praxeologi, praxis og logos, samt institusjonelle betingelser. Praxis uttrykkes gjennom oppgavetyper og teknikker lærerne benytter i undervisningen, mens logos viser til begrunnelsene som ligger til grunn for praksisen. Institusjonelle betingelser er rammer som påvirker hvordan praksisen realiseres. Funnene viser at lærerne deler en grunnleggende forståelse av modellering som en prosess mellom virkelighet og matematikk, og at alle tre begrunner bruken av modellering med matematikkens praktiske nytte og muligheten for dybdelæring. Samtidig realiseres denne felles forståelsen ulikt. To av lærerne knytter modellering tett til tekstoppgaver, mens den tredje integrerer modellering i bestemte matematiske temaer. Et gjennomgående trekk er at valideringsfasen får liten plass i undervisningen. Elevene får dermed i begrenset grad anledning til å vurdere om den matematiske modellen gir et rimelig svar på den opprinnelige situasjonen. Dette kan henge sammen med at lærernes forståelse av modellering primært vektlegger oversettelsen fra virkelighet til matematikk. Lærerne peker på elevenes faglige forutsetninger og tilgjengelig tid som det mest sentrale som påvirker arbeidet med modellering. En av lærerne peker også på at modelleringsoppgaver ikke lenger forekommer på eksamen, noe som svekker begrunnelsen for å prioritere modellering i undervisningen. Studien viser at gapet mellom lærernes intensjoner og undervisningspraksis må ses i sammenheng med hvordan de forstår og realiserer modellering, og de institusjonelle betingelsene lærerne arbeider innenfor.

Denne studien undersøker hvordan fire lærere på 1. og 2. trinn beskriver sin bruk av digitale ressurser i matematikkundervisningen og hvordan deres erfaringer påvirker implementeringen av dynamiske arbeidsark i GeoGebra. Studien tar utgangspunkt i et sosiokulturelt perspektiv på læring, og begreper som mediering og orkestrering står sentralt. Formålet har vært å få innsikt i hvordan lærere integrerer digitale ressurser i begynneropplæringen og hvilken funksjon slike ressurser får i undervisningspraksisen. Studien er utformet med et kvalitativt forskningsdesign med semistrukturerte intervjuer av de fire lærerne. Med utgangspunkt i lærernes beskrivelser bygger analysen på en tematisk tilnærming inspirert av tematisk analyse. Studiens teoretiske rammeverk har hatt betydning for hvordan vi har tolket resultatene selv om analysen hadde et induktivt utgangspunkt. Resultatene viser at lærernes bruk av digitale ressurser er tett tilknyttet eksisterende undervisningspraksiser, tidligere erfaringer og didaktiske vurderinger. Digitale ressurser ble beskrevet som komplementære til analoge ressurser. Lærerne ga uttrykk for at de dynamiske arbeidsarkene i GeoGebra først fikk funksjon når de inngikk i samspill med konkreter, samtaler og andre aktiviteter i undervisningen. Studien indikerer dermed betydningen av å forstå den komplementære relasjonen mellom analoge og digitale ressurser i begynneropplæringen. Videre viser resultatene at de dynamiske arbeidsarkene åpnet for utforskning, visualisering og elevdeltakelse, men at utforskning isolert ikke nødvendigvis førte til matematisk refleksjon og meningsskaping. Lærernes orkestrering og spørsmål fremstod som avgjørende for hvordan elevenes aktivitet kunne knyttes til matematiske sammenhenger. Dermed belyser studien betydningen av lærerens evne til å mediere matematisk forståelse til elevene i arbeid med digitale ressurser. Resultatene tyder også på at matematisk forståelse i begynneropplæringen kan komme til uttrykk gjennom handlinger, representasjoner og elevenes egne formuleringer og ikke bare gjennom presise matematiske begreper. Studien bidrar dermed med innsikt i hvordan digitale ressurser kan forstås som en del av lærerens didaktiske arbeid med matematikk på de laveste trinnene i skolen.

I dagens læreplan er representasjoner, sammen med kommunikasjon, ett av seks kjerneelementer (Kunnskapsdepartementet, 2019, s. 3). Vi kan derfor si at det har en sentral plass i matematikkfaget. Siden matematikk er abstrakt, må det gjøres tilgjengelig ved bruk av representasjoner, for å kunne arbeides med. Representasjoner er derfor viktig for å få tilgang til, og lære seg matematikk. Temaet for denne masteroppgaven er representasjonsbruk i arbeid med brøk. Vi har gjennomført en kvalitativ instrumentell casestudie, hvor vi har observert totalt atten 5. trinnselever på to skoler. Elevene ble til sammen delt inn i sek grupper med tre elever på hver gruppe. Observasjonen av alle gruppene har foregått ved bruk av video- og lydopptak. Problemstillingen for denne studien er følgende: Hvordan bruker lavt-, middels- og høytpresterende 5. trinnselever representasjoner når de løser brøkoppgaver? For å besvare problemstillingen har vi tatt utgangspunkt i representasjoner og omforming av representasjoner (Duval, 2006, 2017), representasjoner i matematikk (Svingen, 2018) og kategorier for representasjoner (Lesh, 1979). Disse har vi også tatt utgangspunkt i, når vi utformet analyseverktøyet vårt. Våre funn indikerer at lavt-, middels- og høytpresterende elevers representasjonsbruk varierer etter prestasjonsnivå. Til tider brukte de ulike prestasjonsnivåene like representasjoner, men hvordan de ble brukt varierte. Jo høyere prestasjonsnivå elevene var på, desto mer variert, presist og fleksibelt var bruken av representasjoner.

Denne masteroppgaven er en kvalitativ casestudie som undersøker elevers representasjonsbruk i oppgaver innen begynnende tallregning. Studien er gjennomført i konteksten av et tenkende klasserom, med fokus på de tre første praksisene, og er forankret i et sosiokulturelt læringssyn der læring i samhandling med andre står sentralt. Formålet med studien er å få innsikt i hvordan elever på 1. trinn bruker og veksler mellom ulike representasjoner i arbeidet med problemløsningsoppgaver. Studien har som formål å besvare følgende forskningsspørsmål: Hvilke representasjoner og overganger mellom dem bruker elever på 1. trinn når de arbeider med to tenkeoppgaver innen begynnende tallregning, og hvordan bruker elevene disse representasjonene? Observasjon er valgt som metode for datainnsamling. Åtte elevpar på 1. trinn ved en skole i Sør-Norge ble observert gjennom tre matematikkøkter ved hjelp av video og lydopptak. To økter ble analysert med utgangspunkt i utviklede analyseverktøy. Analysen er gjennomført som en kvalitativ teoridreven innholdsanalyse, supplert med en kvantitativ opptelling av representasjoner i form av frekvenstabeller. Resultatene viser at elevene benytter flere ulike representasjonsformer, og at valg av representasjon i stor grad påvirkes av oppgavens utforming. Verbale uttrykk fremstår som den mest dominerende representasjonsformen i både utforsking og samhandling mellom elever. Videre viser studien at arbeid i par, bruk av vertikale tavler og problemløsningsoppgaver, som kjennetegner tenkende klasserom, kan bidra til økt bruk av ulike representasjonsformer. Dette skjer særlig gjennom at elevenes kommunikasjon og samhandling i problemløsningsarbeidet støttes.

Mestringstro kan beskrives som troen en person har til sine ferdigheter til å gjennomføre en spesifikk oppgave. Siden høy mestringstro fører til høyere motivasjon hos elevene, er det viktig å kjenne til hvilke valg lærere kan ta med tanke oppgaver. Disse valgene tas for å best tilrettelegge for elevenes egen tillit til gjennomføringsevne. På dette grunnlaget har følgende problemstilling blitt utformet: "Hva kjennetegner 8. trinnselevers mestringstro til forskjellige matematikkoppgaver og oppgavenes særtrekk?" Gjennom denne kvalitative studien intervjuet vi ti norske 8. trinnselever for å finne ut hva som lå bak deres mestringstro til tre forskjellige oppgavetyper innenfor matematikk: intramatematiske oppgaver, tekstoppgaver og modelleringsoppgaver. Vi tok i bruk en tematisk analyse ved å se etter mønstre i elevenes uttalelser, og fant at oppgavens kompleksitet og hvor relevant elevene opplevde oppgaven var viktige faktorene for elevenes mestringstro. Studien er inspirert av en kvantitativ studie gjennomført av Krawitz og Schukajlow (2018) i Tyskland, som målte hvorvidt elever verdsatte oppgaver og hvilken mestringstro de hadde til gjennomføring av de oppgavene.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan brøk fremtilles gjennom oppgaver i tre lærebøker for 7.trinn, ved å analyserer brøktolkninger, representasjoner og kognitive krav. Studien er gjennomført som en kvalitativ innholdsanalyse, der målet er å se på hvilket potensial lærebøkene har for utvikling av brøkforståelse hos elever.

Denne studien undersøker hvordan tre økonomistudenter på andre studieår utvikler instrumenter i interaksjon med generativ kunstig intelligens (KI) når de jobber med matematikkoppgaver. Bakgrunnen for studien er den raske utbredelsen av KI i høyere utdanning, der studenter i økende grad tar i bruk KI-modeller som ChatGPT og Copilot i studiearbeidet sitt. Hvordan studentene faktisk bruker disse modellene, og hvordan instrumentene utvikler seg over tid, er fortsatt lite undersøkt. Forskningsspørsmålet er: «Hvordan utvikler tre økonomistudenter på andre studieår instrumenter i interaksjon med KI-modeller når de jobber med matematikkoppgaver?» Spørsmålet besvares gjennom fire underspørsmål om studentenes forkunnskaper om KI, deres bruk under oppgaveløsningen, deres vurdering av troverdighet, og hvordan instrumentene utvikler seg over en periode på fem måneder. Studien bruker den instrumentelle tilnærmingen som teoretisk rammeverk. Sentrale begreper er artefakt og instrument, og prosessene instrumentalisering og instrumentering. Disse brukes til å analysere hvordan studentene former KI-modellen og hvordan modellen former studentenes strategier. Studien er en kvalitativ instrumentell kasusstudie med et hermeneutisk vitenskapsteoretisk ståsted. Datainnsamlingen er basert på metodisk triangulering og består av semistrukturerte intervjuer, logger fra studentenes interaksjon med KI under en arbeidsøkt, og et oppfølgende spørreskjema fem måneder etter arbeidsøkten. Funnene viser at de tre studentene utvikler ulike instrumenter, formet av forkunnskaper, erfaringer og operasjonelle invarianter. Instrumentaliseringen er mer fremtredende enn instrumenteringen hos alle tre. Ingen av studentene tar i bruk few-shot eller chain-of-thought prompting, og deres concepts-in-action knyttet til KI er underutviklet. Studien bidrar med innsikt utover tidligere forskning ved å vise at en mer fremtredende instrumentalisering ikke nødvendigvis fører til en tilsvarende synlig utviklet instrumentering, og ved å gi et tidsperspektiv på instrumentell genesis i interaksjon med KI. Så langt det er meg bekjent, har tidligere studier liten grad undersøkt dette perspektivet. Et funn med teoretiske implikasjoner er at theorem-in-action hos en av studentene endret seg gjennom påvirkning fra forelesere, uten direkte instrumentbruk. Dette viser den sosiale dimensjonen i instrumentell genesis. Når KI er et sosialt debattert artefakt, kan operasjonelle invarianter endres gjennom diskurs om artefaktet alene.

Denne masteroppgaven undersøker elevers bruk av representasjoner i arbeid med brøk gjennom utforskende grubletegninger i matematikk. Formålet med studien er å få bedre innsikt i hvilke representasjoner elevene på 7. og 10. trinn tar i bruk når de arbeider med brøkoppgaver, og hvordan representasjonene anvendes og begrunnes i samarbeid med andre elever. Studiens problemstilling retter dermed fokus mot hvilke likheter og ulikheter det er i representasjonsbruken til elevene på 7. og 10. trinn i arbeid med grubletegninger knyttet til temaet brøk. For å kunne svare på denne problemstillingen har vi utviklet følgende forskningsspørsmål: 1. Hvilke representasjoner foretrekker elevene på 7. og 10. trinn å bruke i arbeid med grubletegninger knyttet til temaet brøk, og hvorfor? 2. Hvilke representasjoner benytter elevene på 7. og 10. trinn på en hensiktsmessig måte i arbeidet med grubletegningene knyttet til temaet brøk, og hvordan benyttes de? Studien er basert på et kvalitativt forskningsdesign der datamaterialet ble samlet inn gjennom observasjon som hoved datakilde og semistrukturerte intervjuer ble brukt som et supplement for å utdype og støtte funnene i observasjonene. Utvalget i studien besto av totalt tolv elever fra Sør-Norge, fordelt på seks elever fra én 7. klasse og seks elever fra én 10. klasse. Elevene arbeidet i grupper på tre, hvor de arbeidet med egenutviklede grubletegninger knyttet til brøk. I arbeidsprosessen hadde elevene tilgang til ulike hjelpemidler, herunder brøkbrikker, brøktårn, tallinje, numicon, unifixbrikker og papir og blyant. Analysen viser at elevene på 7. trinn hovedsakelig benyttet papir og blyant som støtte for å uttrykke den symbolske representasjonsformen, mens elevene på 10. trinn i større grad utforsket og kombinerte ulike representasjoner. Videre viser analysen at elevene på 7. trinn i større grad brukte representasjonene som støtte for å utvikle forståelse, mens elevene på 10. trinn oftere anvendte representasjonene som støtte for allerede etablert kunnskap. Funnene viser videre at elevene på 10. trinn generelt hadde større representasjonskompetanse, særlig når det gjaldt å koble representasjonene til oppgavenes matematiske struktur å bruke dem hensiktsmessig i oppgaveløsningen.

Denne studien undersøker hvordan elever kommuniserer om matematikk i arbeid med en praktisk geometrioppgave, og hvilke kvaliteter denne kommunikasjonen viser. Studien er en kvalitativ casestudie der tre elever på 9. trinn ble observert gjennom fire undervisningsøkter mens de arbeidet med den praksisfaglige oppgaven «Bygg en sykkelparkering», som ble utviklet for studien. Datamaterialet består av lydopptak som ble transkribert og analysert gjennom en induktiv tematisk analyse etter Braun og Clarke (2006). Funnene drøftes i lys av Anna Sfards (2008) kommognitive rammeverk, med vekt på de tre rutinene gjerninger, ritualer og utforskende rutiner, samt bevegelsen mellom hverdagsdiskurs og matematisk diskurs. Analysen identifiserte fire temaer for elevenes matematiske kommunikasjon: oversettelse mellom praktiske krav og matematisk tenkning, arbeid med å bestemme lengder, regneprosedyrer og matematisk forhandling, og utfordringer med måleenheter og dimensjoner. Alle de tre rutinetypene er til stede i elevenes arbeid. Gjerninger opptrer gjennomgående som en innledende orientering der målet er praktisk endring. Ritualer viser seg både som prosedyredrevet deltakelse der lærte fremgangsmåter gjennomføres uten begrunnelse, og som sosialt drevet deltakelse der narrativer aksepteres uten matematisk substansiering. Utforskende rutiner opptrer i situasjoner der elevene orienterer seg mot å produsere eller begrunne matematiske narrativer, og det tydeligste eksempelet innebærer en kommognitiv konflikt som driver frem læring på meta-nivå. Bevegelsen mellom hverdagsdiskurs og matematisk diskurs er behovsstyrt og går i begge retninger. Hverdagsdiskursen fungerer ikke bare som et utgangspunkt, men som en ressurs elevene aktivt bruker innenfor matematisk arbeid. Bevegelsen kan imidlertid stoppe opp når de matematiske objektene ikke er tilstrekkelig objektivisert. Funnene tyder på at kvaliteten på elevenes deltakelse varierer med graden av objektivisering og med situasjonens krav, der samme elever viser utforskende trekk i noen situasjoner og ritualisert deltakelse i andre. Nøkkelord: kommognisjon, matematisk diskurs, hverdagsdiskurs, rutiner, lukningsbetingelser, praktisk geometrioppgave

Sammendrag Studien undersøker hvordan lærerstudentene forstår, utvikler og bruker brøklikninger i ulike matematiske kontekster, med vekt på både faglig resonnering og pedagogiske vurderinger. Studien forsøker å svare på problemstillingen: “Hvordan arbeider lærerstudentene faglig og pedagogisk med likninger som inneholder brøk i ulike matematiske kontekster.”. For å besvare dette, ble problemstillingen delt inn i tre forskningsspørsmål, som er: Hvordan utvikler og bruker lærerstudentene likninger som inneholder brøk i ulike matematiske kontekster? Hvordan henger lærerstudentenes enhetskoordinasjon sammen med handlingene og operasjonene de utfører når de formulerer algebraiske likninger? Hvordan forstår lærerstudentene elevers mulige utfordringer med likninger som involverer brøk, og hvordan beskriver de sin egen veiledningspraksis i slike situasjoner? Det teoretiske rammeverket bygger på Norton et al (2015) sin teori om enhetskoordinasjon som grunnlag for å forstå hvordan lærerstudentene utvikler og anvender likninger. I tillegg brukes Hackenberg & Sevincs (2022) ideer rundt multiplikativ forståelse av brøkrelasjoner mellom ukjente, for å analysere hvordan deltakerne håndterer brøkstrukturer i algebraiske situasjoner. For å svare på forskningsspørsmålene ble det gjennomført en kvalitativ, abduktiv tematisk analyse av individuelle, semistrukturerte, oppgavebaserte intervjuer med åtte lærerstudenter. Analysen tok utgangspunkt i Nortons (2015) rammeverk for enhetskoordinasjon og Hackenberg & Sevincs (2022) beskrivelser, samtidig som induktive mønstre i materialet ble utviklet for å belyse både studentenes algebraiske strategier og deres didaktiske vurderinger. Studien viser at lærerstudentene utvikler ulike typer brøklikninger avhengig av konteksten, og at additive uttrykk dominerer når brøker forstås som deler av en helhet. Studentenes nivå av enhetskoordinasjon påvirker hvordan de formulerer og bruker likningene, der høyere nivåer gir mer relasjonelle og multiplikative uttrykk. Videre identifiserer studentene selv at både konvertering mellom representasjoner og begrepsforståelse utgjør sentrale utfordringer for elever.

Denne masteroppgaven tar for seg hvordan elever på 1. og 2. trinn utvikler enhetsbegrepet når de arbeider med lengdemåling. Studien er teoretisk forankret i et sosiokulturelt læringssyn, der læring forstås som utviklet gjennom samhandling og bruk av medierende redskaper. Denne masteroppgaven inngår i forskningsprosjektet Sammenligning og måling av størrelser (SMS-prosjektet), som utforsker hvordan måling og sammenligning kan fungere som en inngang til tidlig tallforståelse. Problemstillingen er: «Hvordan medieres enhetsbegrepet gjennom aktivitet og samhandling når elever på 1. og 2. trinn arbeider med lengdemåling?» Studien har et kvalitativt casestudie-design, og datamaterialet består av observasjoner fra én undervisningsaktivitet gjennomført i to klasser på 1. og 2. trinn. Elevene arbeidet i små grupper med å måle en modellert «grønnsakshage» ved hjelp av pinner i ulike lengder som ustandardiserte måleenheter. Materialet er analysert gjennom tematisk analyse med en abduktiv tilnærming, der empiriske mønstre ble tolket i lys av teori. Funnene viser at enhetsbegrepet medieres gradvis gjennom samspill mellom fysiske redskaper, språk, kroppslige handlinger og sosialt samspill. Analysen peker på tre hovedfaser i elevenes arbeid: en utforskende oppstart, framvoksende målestrategier og mer systematisk bruk av enhet. I den utforskende fasen prøver elevene ut redskapene gjennom direkte sammenligning, anslag og uregelmessig plassering. Etter hvert utvikler de strategier der enheten gjentas langs lengden, telling koblet til flytting av enheten, og målingen blir mer presis og koordinert. Studien viser også at læreren spiller en viktig rolle i medieringsprosessen ved å stille spørsmål, rette oppmerksomheten mot sentrale måleprinsipper og støtte elevenes samarbeid og refleksjon. Funnene tyder på at enhetsbegrepet ikke utvikles som individuell innsikt alene, men gjennom deltakelse i meningsfulle aktiviteter der elever bruker redskaper og språk sammen med andre. Oppgaven bidrar med kunnskap om hvordan praktisk arbeid med måling kan støtte begrepsutvikling i begynneropplæringen. Den synliggjør særlig verdien av utforskende aktiviteter der elever får erfare sammenhengen mellom enhet, telling og måleresultat.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan en lærer orkestrerer matematikkundervisning i et tenkende klasserom på 3. trinn. Studien er særlig knyttet til det sosiokulturelle læringsperspektivet og Peter Liljedahls teoretiske rammeverk for å bygge et tenkende klasserom. Formålet er å få innsikt i lærerens orkestrerende handlinger ved bruk av støttefunksjoner i undervisningen, og hvordan dette legger til rette for elevdeltakelse, resonnering og problemløsning. Tidligere forskning viser et behov for mer kunnskap om hvordan lærere kan orkestrere matematikkundervisning i utforskende læringsmiljøer. For å finne svar på dette har jeg benyttet meg av en kvalitativ casestudie som forskningsdesign, hvor jeg observerte en lærers undervisning om de fire regneartene på 3. trinn ved bruk av oppgaver hentet fra tenkende klasserom. Ved hjelp av datamateriale i form av videoopptak og lydfiler, analyserte jeg lærerens orkestrerende grep i lys av relevante teoretiske perspektiver. Resultatene i studien viser at lærerens orkestrering i et tenkende klasserom kommer til uttrykk gjennom seks ulike grep: organisering, oppgavegiving, oppfordring til variasjon i fremgangsmåte, oppfordring til resonnering, bistand i elevsvar og oppsummering. Mesteparten av orkestreringen var reaktiv, i den forstand at læreren kontinuerlig tilpasset støttefunksjoner gjennom samhandling med elevene. Resultatene peker også på lærerens rolle som fasilitator som sentral, hvor læreren tok i bruk språk og gester på forskjellige måter for å videreutvikle og utfordre elevene i resonnerings- og problemløsningsprosessen. Basert på dette handler lærerens orkestrering om en balansegang mellom tilstrekkelig støtte og bevaring av elevenes autonomi. Gjennom de seks orkestrerende grepene medvirket læreren til å synliggjøre det matematiske innholdet, gi rom for elevdeltakelse og forme elevenes handlingsrom i utforskende læringsprosesser.

Denne studien undersøker hvilke representasjoner elever på 1. trinn tar i bruk i arbeid med én problemløsningsoppgave i konteksten av et tenkende klasserom. Det rettes også søkelys mot hvilke overganger mellom og bearbeidinger av representasjonene elevene bruker. Studien har som mål å undersøke et tema som både er faglig relevant og praksisnært for fremtidig lærerarbeid. I denne kvalitative studien er datamateriale samlet inn fra syv elevpar fra en 1. klasse på en skole i Sør-Norge. Datainnsamlingen ble gjennomført ved hjelp av video- og lydopptak, som deretter ble transkribert. Datamaterialet er analysert ved hjelp av to analytiske rammeverk. Det første rammeverket ble brukt til å undersøke hvilke representasjoner elevene brukte, mens det andre ble brukt for å identifisere hvilke overganger og bearbeidinger mellom og av de ulike representasjonene. Resultatene viser at verbal representasjon er den mest dominerende representasjonen, og at overgangen mellom representasjonene verbal og visuell modellering forekom hyppigst. Videre fremheves det at bruk av ulike representasjoner er essensielt i begynnende addisjon. Resultatene synliggjør behovet for å støtte elevenes utvikling i bruk av flere representasjoner, særlig i tidlige faser av matematikkopplæringen.

Denne masterstudien undersøker hvordan elever på 3. trinn arbeider med matematiske problemløsningsoppgaver innenfor rammeverket av et ‘tenkende klasserom’. Formålet med studien er å gi innsikt i elevenes arbeidsmåter og strategier gjennom forskningsspørsmålet: Hvordan arbeider noen elever på 3. trinn med en matematisk problemløsningsoppgave i et tenkende klasserom? Studien har en kvalitativ tilnærming og er gjennomført som en enkelcasestudie. Datamaterialet består av videoobservasjoner av seks elevpar som løser den utforskende oppgaven ‘Hvor mange bein?’. Analysen er gjennomført som en tematisk innholdsanalyse med utgangspunkt i et sosiokulturelt perspektiv på læring og Liljedahls (2023) teori om tenkende klasserom. Resultatene viser at elevene tar i bruk et bredt spekter av medierende redskaper, som tegninger av dyr, tellestreker og tall, for å strukturere tenkningen sin. En sentral observasjon er at systematisk organisering av disse redskapene, for eksempel ved å gruppere tellestreker, er avgjørende for at elevene skal beholde oversikten når kompleksiteten i oppgavene øker. Når det gjelder utregningsmåter, beveger elevene seg dynamisk mellom enkle tellemetoder og mer avanserte strategier som hoppetelling, gjentatt addisjon, dobling og bruk av tiervenner. Studien konkluderer med at et tenkende klasserom fremmer et aktivt læringsmiljø preget av dialog og symmetrisk stillasbygging, der elevene støtter hverandres problemløsningsprosesser. Samtidig peker funnene på at læreren spiller en viktig rolle i å veilede elevene mot mer strukturerte arbeidsmåter uten å overta selve tenkningen.

Målet med masteroppgaven vår er å få et innblikk i hvilke strategier som kan forekomme når elever på 3. trinn arbeider med problemløsningsoppgaver i et tenkende klasserom. Elevene arbeider i denne studien med tre ulike problemløsningsoppgaver og vi undersøker hva slags strategier som oppstår i denne prosessen ved å besvare forskningsspørsmålet: Hvilke strategier bruker elever på 3. trinn når de løser problemløsningsoppgaver i matematikk i et tenkende klasserom? Masteroppgaven vår er en kvalitativ studie der vi har observert seks grupper på 3. trinn ved hjelp av video- og lydopptak. Vi har i denne studien valgt å vektlegge strategibruken til tre av disse gruppene. Datainnsamlingen foregikk over tre økter, fordelt på tre dager, i en periode på tre uker. Vi har i ettertid transkribert alt datamaterialet vårt, men kun analysert arbeidet til de tre gruppene vi valgte å legge vårt fokus på. Elevene arbeidet i denne perioden med tre ulike problemløsningsoppgaver som ble fordelt utover dagene. Oppgavene som ble gjennomført het “Hvor mange bein?”, “Selskapsbord” og “I Fornøyelsesparken”. Disse er hentet fra Liljedahl og Giroux (2024) sin bok “Matematikkoppgaver for tenkende klasserom 1. - 6. trinn”. Resultatene til de tre gruppene viser at de bruker til sammen 11 forskjellige strategier i problemløsningsprosessen. Strategibruken varierte mellom gruppene i de ulike oppgavene, men vi så også noen fellestrekk blant dem. Særlig “skjematisk tegning”, "telling fra én” og “gjett og sjekk” var strategier som forekom hyppig. Enkelte av gruppene tok også i bruk strategier som “gruppering”, “telle videre” og “konkret tegning”.

Denne studien undersøker hvordan syv par førsteklassinger anvender ulike representasjoner når de arbeider med en problemløsningsoppgave innenfor tidlig tallregning. Formålet med studien er å undersøke hvordan elever uttrykker matematikk gjennom ulike tilnærminger, og hvilken rolle disse spiller i problemløsningen. Studien tar utgangspunkt i Duval (2006) sin forståelse av transformasjoner mellom representasjoner og Røsseland (2023) sin tolkning av Lesh et al. (1987) sin representasjonssirkel som teoretisk rammeverk. Telling forstås som en grunnleggende aktivitet i tidlig tallregning, og kommer til uttrykk gjennom fem ulike representasjonsformer. Studien er gjennomført innenfor rammene av et tenkende klasserom (Liljedahl, 2023), der problemløsning vektlegges. Det er gjennomført en kvalitativ casestudie med videoobservasjon som metode. Observasjonen fant sted i et klasserom på første trinn, der forskeren inntok rollen som fullstendig observatør. Datamaterialet ble først transkribert og deretter analysert ved hjelp av en teoridrevet innholdsanalyse med utgangspunkt i det teoretiske rammeverket. Resultatene viser at elever bruker flere representasjonsformer i problemløsningsarbeidet, og det skjer hyppige konvertereringer mellom disse. Tidlig tallregning kommer særlig til uttrykk gjennom telling, både gjennom verbale uttrykk og i samspill med visuelle modeller og konkret materiell. Språket fremstår som den mest dominerende representasjonen, og fungerer som en støtte i elevenes problemløsningsarbeid. Dette kommer særlig til syne når elevene arbeider i par.

Sammendrag Denne masteroppgaven undersøker hvordan elever arbeidet med sammenligning av lengder gjennom aktiviteten, Skjerffabrikken. Aktiviteten ble utviklet med hensikt å legge til rette for sammenligningsarbeid i en lekpreget kontekst. Elevene arbeidet i grupper på tre til fire elever, hvor én av oss hadde rollen som lærer i gjennomføringen. Studien tar utgangspunkt i følgende forskningsspørsmål: Hva karakteriserer 2. trinns elevers arbeid med sammenligning av lengder i en lekbasert kontekst? Teoretisk tar studien utgangspunkt i et sosiokulturelt læringssyn, hvor sosial samhandling står sentralt (Faldet et al., 2023, s. 10–11). Videre bygger studien bygger på teori om sammenligning av lengder, problemløsning, bruk av konkreter, språk og lekbasert læring. Studien er en casestudie med observasjon som metode. Aktiviteten ble totalt gjennomført 16 ganger. Det inkluderte en pilotgjennomføring og en datainnsamling. Tre av de syv gruppene i datainnsamlingen ble analysert inngående. I analysearbeidet utviklet vi et analyseverktøy inndelt i fire kategorier: språkbruk, nonverbal kommunikasjon, grov sammenligning og direkte sammenligning. Resultatene av analysen viste at elevenes arbeid i denne konteksten var karakterisert av en problemløsningsprosess. Innenfor denne prosessen brukte elevene konkretene som støtte i utsagn og argumentasjon, blant annet gjennom nonverbal kommunikasjon og pekeord. Konkretene fungerte også som et felles holdepunkt når elevene tok i bruk ulike fremgangsmåter, som grov- og direkte sammenligning. Samlet sett viser våre resultater at en aktivitet i en lekpreget kontekst kan gi elevene mulighet til å bruke konkreter, språk og samhandling som støtte i arbeid med problemløsning og sammenligning av lengder.

Denne masteroppgaven undersøker sammenhengen mellom språkferdigheter og matematikkferdigheter hos et utvalg elever i første klasse og hvilken innsikt matematikklæreren kan få i sammenhengen mellom elevenes ferdigheter ved bruk av kartleggingstestene Språk 6-16 og Feifer Assessment of Mathematics (FAM). Studien bygger på to forskningsspørsmål: I.I hvilken grad kan vi se sammenheng mellom språkferdigheter og matematikkferdigheter i språk 6-16 fullskala og deltester og FAM fullskala, deltester og hovedindekser? II.Hvilke underliggende kognitive ferdigheter ser ut til å være felles for elevenes språk- og matematikkprestasjoner? Det teoretiske grunnlaget for oppgaven tar utgangspunkt i teori om barns tidlige matematikkutvikling og språkutvikling, samt teori om domenespesifikke, domenegenerelle og underliggende kognitive ferdigheter. Tidligere forskning om hvordan språkferdigheter kan påvirke matematisk forståelse, i tillegg til hvordan både språk- og matematikkferdigheter påvirkes av underliggende kognitive prosesser, danner hovedgrunnlaget for teorien min. Dette er grunnlaget for drøftingen min, hvor jeg ser teori i lys av funn fra egen analyse og besvarer forskningsspørsmål og problemstilling Studien har et kvantitativt tverrsnittsdesign og er forankret i et post-positivistisk paradigme og kritisk realisme. Utvalget består av 15 elever i første klasse fra tre kommuner i Agder. Elevene gjennomførte kartleggingstestene Språk 6-16 og FAM, og deres prestasjoner ble utgangspunktet for datamaterialet. Dataene ble analysert ved hjelp av deskriptive statistiske undersøkelser og Pearson-korrelasjonsanalyser for å kunne undersøke sammenhenger mellom deltester, hovedindekser og fullskalaresultater. Funnene viser flere sammenhenger mellom språk og matematikkferdigheter hos elevene i dette utvalget. Særlig grammatisk forståelse, begrepsforståelse, fonologiske ferdigheter og arbeidsminne så ut til å ha sammenheng med elevenes matematikkprestasjoner. Funnene kan antyde at både domenespesifikke og domenegenerelle ferdigheter påvirker utviklingen av matematisk kompetanse, og at underliggende kognitive ferdigheter i stor grad kan ha påvirket elevens prestasjoner både i språkkartleggingen og matematikkartleggingen. Funnene i denne studien ble så drøftet for å kunne undersøke hvordan matematikklæreren kan bruke informasjon fra språk og matematikkartlegging til å få innsikt i elevenes læringsforutsetninger i matematikkfaget, og peker på hvordan kartleggingstester kan bidra til tidlig identifisering og tilrettelegging for elever som strever. Studien understreker betydningen av å se sammenhengen mellom språk- og matematikkferdigheter i begynneropplæringen.

Denne studien undersøker hvordan fire lærere på 1. og 2. trinn beskriver sin bruk av digitale ressurser i matematikkundervisningen og hvordan deres erfaringer påvirker implementeringen av dynamiske arbeidsark i GeoGebra. Studien tar utgangspunkt i et sosiokulturelt perspektiv på læring, og begreper som mediering og orkestrering står sentralt. Formålet har vært å få innsikt i hvordan lærere integrerer digitale ressurser i begynneropplæringen og hvilken funksjon slike ressurser får i undervisningspraksisen. Studien er utformet med et kvalitativt forskningsdesign med semistrukturerte intervjuer av de fire lærerne. Med utgangspunkt i lærernes beskrivelser bygger analysen på en tematisk tilnærming inspirert av tematisk analyse. Studiens teoretiske rammeverk har hatt betydning for hvordan vi har tolket resultatene selv om analysen hadde et induktivt utgangspunkt. Resultatene viser at lærernes bruk av digitale ressurser er tett tilknyttet eksisterende undervisningspraksiser, tidligere erfaringer og didaktiske vurderinger. Digitale ressurser ble beskrevet som komplementære til analoge ressurser. Lærerne ga uttrykk for at de dynamiske arbeidsarkene i GeoGebra først fikk funksjon når de inngikk i samspill med konkreter, samtaler og andre aktiviteter i undervisningen. Studien indikerer dermed betydningen av å forstå den komplementære relasjonen mellom analoge og digitale ressurser i begynneropplæringen. Videre viser resultatene at de dynamiske arbeidsarkene åpnet for utforskning, visualisering og elevdeltakelse, men at utforskning isolert ikke nødvendigvis førte til matematisk refleksjon og meningsskaping. Lærernes orkestrering og spørsmål fremstod som avgjørende for hvordan elevenes aktivitet kunne knyttes til matematiske sammenhenger. Dermed belyser studien betydningen av lærerens evne til å mediere matematisk forståelse til elevene i arbeid med digitale ressurser. Resultatene tyder også på at matematisk forståelse i begynneropplæringen kan komme til uttrykk gjennom handlinger, representasjoner og elevenes egne formuleringer og ikke bare gjennom presise matematiske begreper. Studien bidrar dermed med innsikt i hvordan digitale ressurser kan forstås som en del av lærerens didaktiske arbeid med matematikk på de laveste trinnene i skolen.

Temaet i denne masteroppgaven er elevers tilnærmingsmåter i arbeid med matematikkoppgaver. Oppgaven inngår som en del av et større forskningsprosjekt om tenkende klasserom. For å undersøke temaet har jeg utarbeidet følgende forskningsspørsmål: Hvilke tilnærmingsmåter bruker en gruppe på 2. trinn i arbeidet med tre matematikkoppgaver i et tenkende klasserom? Studien er en kvalitativ enkeltcasestudie av to elever på 2. trinn som arbeider med tre ulike matematikkoppgaver ved en slettbar tavle. Datamaterialet er samlet inn gjennom observasjon og lyd- og videoopptak, og er analysert ved hjelp av tematisk analyse. Det teoretiske rammeverket bygger på et sosiokulturelt perspektiv på læring, representasjonstrappa og teori om tidlig aritmetikk og tellestrategier. Resultatene viser at de to elevene tar i bruk tre hovedtilnærmingsmåter, Samarbeid, Tegne og Telling, og at disse fordeler seg ulikt mellom de tre oppgavene. I én oppgave dominerer Telling, og i de to andre dominerer Samarbeid. Tilnærmingsmåtene fremstår som kontekstavhengige, og kommer til uttrykk på ulike måter i de tre oppgavene.

Denne masteroppgaven undersøker hvordan matematisk argumentasjon kommer til uttrykk i pararbeid på 2. trinn, og har som formål å bidra med innsikt i hvordan elever argumenterer matematisk i begynneropplæringen. Jeg har på bakgrunn av dette utarbeidet følgende forskningsspørsmål: Hvordan kommer matematisk argumentasjon til uttrykk i pararbeid på 2. trinn? Studien er gjennomført som en del av forskningsprosjektet Tenkende Klasserom ved Universitetet i Agder, som undersøker matematikkundervisning organisert etter Liljedahl (2023) sine 14 prinsipper for å bygge et tenkende klasserom. Datamaterialet ble samlet inn ved bruk av video- og lydopptak, som videre ble transkribert og analysert. Analysen er inspirert av tematisk analyse (Braun & Clarke, 2006), og jeg utarbeidet et analytisk rammeverk bestående av Stylianides (2008) fire former for matematisk argumentasjon, Duvals (2006) inndeling av semiotiske representasjoner og Stylianides (2007a) fire kriterier til et matematisk bevis. Resultatene viser at elevenes argumentasjon kommer til uttrykk som empirisk, der elevene argumenterer gjennom bruk av telling, tegning og enkle symbolske uttrykk. Telling kommer til uttrykk som en sentral og naturlig fremgangsmåte for elevene, både for å komme frem til og kontrollere et svar, men også for å etablere gyldighet i elevparet. Studien viser at elevene veksler mellom ulike representasjoner, og at argumentasjonen påvirkes av det sosiale fellesskapet.