Elevers meningsskaping i algebraundervisning i fire land

Elevene kommer til et punkt i matematikkforståelsen der de går fra konkret bruk av regning til en abstrakt forståelse av matematikk. Hva som da skjer i måten elevene jobber sammen på, har Jorunn Reinhardtsen forsket på i doktorgradsavhandlingen sin.

Jorunn Reinhardtsen disputerer for ph.d.-graden med avhandlingen «Student meaning making in elementary algebra teaching: An in-depth study of classrooms in four countries» fredag 24. januar 2020.

Algebra er forenklet sagt å regne med ukjente – mest kjent er ligninger, der bokstaver kommer dumpende inn blant tallene, for eksempel X i en ligning. Det er stor forskjell fra aritmetikk - å regne, det vil si legge sammen og trekke fra, gange og dele – til å tenke analytisk og abstrakt på matematikk – algebra.

Det er det som foregår i klasserommet mellom elevene når lærerne introduserer algebra for elevene, og de nær sagt fatter poenget med algebra som Jorunn Reinhardtsen er opptatt av.  

Ett av spørsmålene er om det er forskjell på hva som skjer mellom elevene i forskjellige land. Prosjektet Reinhardtsens doktorgradsavhandling er en del av har sett på dette i fire land - Finland, Norge, Sverige og USA.

Jorunn Reinhardtsen har fulgt doktorgradsprogrammet ved Fakultet for teknologi og realfag med spesialisering i matematikkdidaktikk.

Ett år av stipendiatperioden  ble finansiert av NOS-HS  - Joint Committee for Nordic Research Councils for the Humanities and Social Sciences (grant 2135-08-210321).

Slik oppsummerer Jorunn Reinhardtsen avhandlingen (lettvarianten):

Elevers meningsskaping i algebraundervisning i fire land

 I avhandlingen studerer jeg interaksjonen i klasserom når algebra blir introdusert.

Studien undersøker elevers matematiske diskusjon og samarbeid på det kritiske tidspunktet hvor det er forventet at de skal ta steget mot en mer analytisk og abstrakt måte å arbeide matematisk på.

Studien er en del av et internasjonalt forskningsprosjekt der forskere i Finland, Norge, Sverige og USA hadde som mål å undersøke hvordan lærere i de ulike landene introduserer algebra i skolen og hvordan 11-13 år gamle elever deltar i denne undervisningen.

Elevene bruker samme strategi i alle land

Resultatene viser at gruppene i de fire landene brukte de samme strategiene, ofte 3-4, for å løse en mønsteroppgave. Disse gikk fra tegne- og telle-strategier til mer sofistikerte strategier som inkluderte formulering av algebraiske uttrykk.

Bruken av strategiene varierte ikke mer mellom grupper i ulike land enn mellom grupper i ulike klasserom i samme land.

Bruker algebraiske idéer lite

Gjennomgående brukte elevene i liten grad de algebraiske ideene som hadde blitt introdusert i undervisningen.

Analysene av elevenes løsningsprosesser viser at elevene skaper mening gjennom bruk av muntlige, skriftlige og kroppslige uttrykk. Dette bringer dem fra det konkrete til det abstrakte (figurer, tall, operasjoner og sammenhenger) og muliggjør generalisering av mønster.

Noen elever evner å lage sammensatte uttrykk som inkluderer to ulike regneoperasjoner for å løse mønsteroppgaven.

Utfordringer å gå fra tallsvar til analyse

Likevel ble dette identifisert som en av de store utfordringene elevene stod overfor i sitt møte med algebra

Dette innebærer et skifte, fra et beregningsperspektiv hvor fokuset er å finne ett numerisk svar, til et analytisk perspektiv hvor det å generalisere og uttrykke matematiske sammenhenger og strukturer er sentralt.

Slik oppsummerer Jorunn Reinhardtsen avhandlingen (utvidet):

Elevers meningsskaping i algebraundervisning i fire land

 I avhandlingen studerer jeg interaksjonen i klasserom når algebra blir introdusert. Studien undersøker elevers matematiske diskurs på det kritiske tidspunktet hvor det er forventet at de skal ta steget mot en mer analytisk og abstrakt måte å arbeide matematisk på.

Kraftfull symbolikk

Den algebraiske symbolikken er et kraftfullt redskap i problemløsning, generalisering og modellering ettersom den gjør det mulig å uttrykke matematiske sammenhenger presist og kortfattet. Elever som håndterer denne symbolikken får derfor tilgang til høyere matematikk og flere utdanningsmuligheter, mens den for andre fungerer som en barriere.

Studien er en del av et internasjonalt forskningsprosjekt kalt VIDEOMAT. Samarbeidet mellom forskerteam i Finland, Norge, Sverige og USA hadde som mål å undersøke hvordan lærere i de ulike landene introduserer algebra i skolen og hvordan 11-13 år gamle elever deltar i denne undervisningen. 

Studerte samarbeidet i grupper

I de første fire timene introduserte lærerne algebra som planlagt, mens i femte time ble lærerne bedt om å introdusere tre gruppeoppgaver. Én av disse oppgavene var en mønsteroppgave som frembrakte rike diskusjoner i elevgruppene. Min studie analyserer interaksjonen som foregikk i 16 grupper (4 klasserom i 4 land) når elevene arbeidet med denne oppgaven.

Jeg studerte et amerikansk klasserom som arbeidet gjennomgående med mønsteroppgaver i de fire første undervisningstimene. Her tok læreren et funksjonsperspektiv på oppgavene og introduserte elevene for funksjonstabell og metaforen funksjonsmaskin.

Resultatene viser hvordan disse elevene, i samspill med læreren, skapte matematisk mening rundt multiplikasjon i ikke-proporsjonale, lineære sammenhenger. Elevene dro nytte av aritmetisk innsikt samtidig som de tok i bruk algebraiske ideer og symboler. Elevene beveget seg fra et fokus på rekursive generaliseringer i arbeidet med de første oppgavene til eksplisitte generaliseringer i tabeller i senere oppgaver. Noen elever utviklet også et funksjonsperspektiv hvor de pekte på sammenhenger mellom sett av tall.

Utfordringen er ikke symbolene, men tenkningen

Elevene uttrykte også de eksplisitte sammenhengene ved hjelp av algebraiske uttrykk. At de fleste elevene fikk dette til tyder på at det ikke er selve symbolikken som er den største utfordringen i algebra, men mer det å tenke algebraisk.

Det er utfordringer knyttet til bruk av tabeller i arbeid med mønsteroppgaver: Min studie viser at (1) elevene i liten grad knyttet sine generaliseringer gjort i tabellene til et opprinnelig figurmønster; (2) elevene tok i bruk ikke-algebraiske strategier som prøv-og-feil metode; og at (3) elevene i liten grad satte opp egne tabeller.

Resultatene viser at gruppene i de fire landene brukte de samme strategiene, ofte 3-4, for å løse mønsteroppgaven i femte time. Disse gikk fra tegne og telle-strategier til mer sofistikerte strategier som inkluderte formulering av algebraiske uttrykk. Bruken av strategiene varierte ikke mer mellom grupper i ulike land enn mellom grupper i ulike klasserom i samme land.

Aritmetikk – ikke algebra

Gjennomgående brukte elevene sin kjennskap til aritmetikk for å løse oppgaven og ikke de algebraiske ideene som hadde blitt introdusert de fire foregående timene. Strategibruken i en gruppe opererte ofte i et samspill hvor elever fikk innsikt i de matematiske sammenhengene i problemet ved å tegne, gestikulere og telle, for deretter å kunne formulere algebraiske uttrykk.

Analysene av elevenes løsningsprosesser viser at elevene skaper mening gjennom bruk av flere sanser og modaliteter. Dette bringer dem fra det konkrete til det abstrakte (figurer, tall, operasjoner og sammenhenger) og muliggjør generalisering av mønster.

Resultatene viser spesielt at denne elevgruppen (11-13 år) har skapt matematisk mening rundt regneoperasjonene og ofte beveger seg mellom addisjon, multiplikasjon og divisjon. En utfordring er at elever har utviklet en sterk assosiasjon mellom multiplikasjon og proporsjonalitet. Dette gjør det utfordrende for dem å behandle ikke-proporsjonale, lineære sammenhenger.

Utfordring med sammensatte uttrykk

Noen elever evner å lage sammensatte uttrykk som inkluderer to ulike operasjoner for å løse mønsteroppgaven.

Likevel ble dette identifisert som en av de store utfordringene elevene stod overfor i sitt møte med algebra.

Dette innebærer et skifte, fra et beregningsperspektiv hvor fokuset er å finne ett numerisk svar, til et analytisk perspektiv hvor det å generalisere og uttrykke matematiske sammenhenger og strukturer er sentralt.