Om Niels Henrik Abels betydning i dag

Abelprisvinnerens besøk skal brukes som en anledning til å vise matematikkens betydning både i hverdagslivet og i skoleverket. Stortinget opprettet Abelprisen i 2002, da det var 200 år siden Niels Henrik Abel ble født.

Se mer om det store arrangementet for 5. klassinger og Abelprisvinner John Tate: Her er Abelprisens nettside om Niels Henrik Abel:

Professor Reinhard Siegmund-Schultze - bok om matematikkhistorie:

Matematikkundervisningen i skolen har vært problematisk de siste årene. Nå skal mange elever delta i arrangementet med Abelprisvinneren.

- Blir det ikke et problem at John Tate er spesialist på veldig abstrakte matematiske områder, som for eksempel ”tallteori” og den såkalte ”gruppeteorien”? Hvordan kan vi forklare betydningen av hans forskning for oss og norske elever? Er det noen konkrete praktiske anvendelser som vi kan peke på - og er det mulig å dra en forbindelse til Niels Henrik Abel?

Bygger videre på Abels teorier

- Du har rett i at det å popularisere matematikken er alltid vanskelig, sier professor Reinhard Siegmund-Schultze. - Abel er en stor historisk skikkelse som tilhører den hele norske historien og nasjonen og fortsatt er beundret verden over.

- Nå er det slik at nettopp gruppeteorien har en stor tradisjon i Norge. Abel selv brukte dette ganske abstrakte matematiske begrepsapparatet som kalles ”gruppeteori” til å løse ligninger. ”Abelske grupper” er nokså spesielle grupper som er definert ved symbolske ligninger som er i en viss forstand ”symmetriske”. De er brukt daglig av matematikere i hele verden. De tre kanskje største norske matematikere som kom etter Abel - Sophus Lie, Ludvig Sylow og den nylig (2007) avdøde Atle Selberg - var store spesialister i nettopp gruppeteori. Folk som Tate bygger videre på deres resultater den dagen i dag, når det gjelder Selberg også på dens aritmetisk-tallteoretiske begreper, sier professoren.

Abel i hverdagslivet

- Ja, men er eller var disse matematikere egentlig opptatt av matematiske problemer i hverdagslivet eller minst av fysikalske lover? Fins det eksempler på at resultatene som Abel fant for nesten 200 år siden er brukt i dag i konkrete teknologiske sammenhenger? Jeg hørte en gang at den moderne computertomografi er delvis basert på resultater som Abel fant?

- Dette eksempel er ofte nevnt. Og det er ikke galt prinsipielt, fordi Abel undersøkte visse typer uendelige summer (rekker) og integraler som er viktige i dag for dette området. Men en må passe på at en ikke feiltolker de virkelige motivasjonene og talentene som sto bak Abels virke. Anvendelsesområder med computere fantes ikke på Abels tid, sier Siegmund-Schultze med et smil.

- Hele Abels interesse og livsformål var å gå dypere enn det som lå på overflaten. Han ville skape og undersøke begreper som kunne forbedre og utvide matematikken og dermed nytte fysikken og andre anvendelsesområder på lang sikt. I vårt arrangement, ledet av Ingvald Erfjord, håper vi å kunne formidle noe av begeistringen som matematiske forskere er opptatt av, skjønnheten som de ser i sine begreper, og gleden de finner ved å løse en oppgave, ikke minst den selvdisiplinen som trengs for å nå fram til løsningen. Og selvfølgelig finnes og fantes allerede i Abels tid en spesialisering i matematikkens område. Alle matematikere er ikke like gode med grunnlagene og med anvendelsene, røper professoren.

Abel bommet også – på månen

- Vil du antyde at til og med den store Abel bommet på fasit?

- Joda, flere ganger faktisk. Det ene var et ”anvendelsesproblem” i umiddelbar forstand, det dreide seg om spørsmålet i hvilken grad en pendelsvingning kan være påvirket av månens tiltrekning. Det er jo i utgangspunkt et ganske sammensatt problem fordi det må ta hensyn til månens kompliserte bevegelse rundt kloden. Kanskje ville Abel vise sine analytiske kunnskaper. Han forutsatte ganske riktig at pendelens bevegelse på jordens overflate er påvirket ikke bare av jordens gravitasjonskraft, men – selv om det er i betydelig mindre grad – også av månens tiltrekning. Men det Abel glemte er at en tredje attraksjon kommer inn her. Det er jo slik at også månen og jorda tiltrekker hverandre, og det faktisk med betydelig større kraft enn hvordan pendelen er attrahert av månen. Dermed er korrekturkraften til pendelens bevegelse som kommer fra månen mye mindre, faktisk med en faktor 60, enn Abel hadde beregnet. Det er jo litt ironisk at det viste seg til slutt at nettopp i den lille biten av fysikken hvor Abel prøvde å anvende sin analytiske kunnskap er matematikken umiddelbart av liten nytte, fordi den beregnede effekten er så liten, sier professor Reinhard Siegmund-Schultze.

Den tyske astronomen Schumacher fant feilen umiddelbart etter at den anerkjente norske anvendte matematikeren Christopher Hansteen (som antakelig var litt ukritisk i sin beundring av den unge Abel) hadde sendt Abels manuskript til Tyskland, for å trykke det i tysk oversettelse. Men da var ulykken allerede skjedd: Abels arbeid ”Om Maanens Indflydelse paa Pendelens Bevægelse” hadde kommet ut i det norske ”Magazin for Naturvidenskaberne” (1824), og Abel ble tvunget å publisere en korrektur i et senere nummer av Magazin.

- Kanskje viste Abel med dette eksempelet allerede som tjuetoåring noen tegn på en ”distré professor” selv om han aldri nådde et skikkelig professorat i sitt korte og vanskelige liv. Les den fine biografien om Abel av min kollega Arild Stubhaug i Oslo, anbefaler professor Siegmund-Schultze.

- Eksempelet viser forresten at også et geni som Abel kan ta feil, men også at et godt ettermæle likevel kan sikres med fornyede anstrengelser.

Praktisk betydning av abstrakt matematikk

- Tilbake til gruppeteori og Abels og Tates dype forskning. Kan en ikke likevel prøve å forklare hvorfor og hvordan denne abstrakte matematikken kan få en gang praktisk betydning?

- Vi må først og fremst forstå at matematikken er en metode som forenkler og forkorter kompliserte logiske og fysikalske sammenhenger, slik at vi slipper å gjøre den samme operasjonen gang på gang, innleder professoren.

- Det fins neppe noe mer ”praktisk” enn å slippe omveier og gjentakelser, ikke sant? Når det gjelder gruppeteori så ble det grunnleggende i ligningsteori nettopp til i Abels tid. Og de fleste av oss skjønner jo at såkalte algebraiske ligninger, også slike med potenser, er umiddelbart knyttet til praktiske problemer. Se på det å dele tomter mellom to personer: Det fører til kvadratiske ligninger (med grad 2). Derimot å fordele en væske på to containere fører til kubiske ligninger (med grad 3). Litt mer vanskelige praktiske problemer er tilknyttet til himmelmekanikken og det såkalte trekroppsproblemet hvor ligninger med grad 5 dukker opp.

Hvis vi nå ser på Abels ligningsteori så er den jo svært teoretisk. Men resultatet er blant annet at vi kan slippe å prøve finne løsninger til ligninger av altfor høy grad (dvs. altfor høy potens av den inngående variable). Abel viste teoretisk at ligninger av femte grad og høyere grad kan vanligvis (!) ikke løses med slike enkle formeler som vi er vant til fra kvadratiske ligninger -jeg håper leserne husker denne enkle formelen fra skoletiden, sier Reinhard Siegmund-Schultze. - Abel og den litt yngre franskmannen Galois viste ved hjelp av gruppeteori hvilke typer ligninger av høyere grad som likevel kan løses, eller hvor en må bruke approksimasjonsmetoder isteden. Hvis en så vil, var det i første rekke et negativt resultat: Men dette har spart generasjoner av matematikere mye arbeid, sier professoren.

Fulle containere

- Og tilbake til computertomografi og integraler?

- Her igjen er det først og fremst det høyst betydelige arbeidet i grunnlagene til matematikken som Abel ble kjent for. Tenk deg en fysisk størrelse som øker over tid, men slik at hver økning tilføyer mindre til den opprinnelige størrelsen. Alle vil forstå at slike problemer dukker opp nesten hver dag i fysikken og i teknikken.

- Nå er det jo interessant å vite om denne økningen kan føre til hvilken som helst stor verdi - det er viktig for eksempel for å bedømme om en container kommer til å renne over. Noen få ting er klart fra begynnelsen: Det finnes slike prosesser som ikke fører til hvilken som helst stor verdi. En behøver jo bare halvere en gitt størrelse gjentatte ganger og se at den første halvparten økes på denne måten bare inntil en gitt grense, nemlig den opprinnelige størrelsen. Det er også innlysende at det finnes økninger som blir mindre og mindre, og likevel overskrider den totale økningen hvilken som helst stor verdi.

- Matematikken kommer inn når en ønsker å bedømme det følgende: En kjenner en regel (lov) hvor mye den opprinnelige størrelse øker i hvert skritt. Hvordan kan vi vise at denne ”uendelige rekken”, som det også heter, er ”konvergent”, dvs. alltid forblir under en gitt grense eller ikke. Det var nettopp ”uendelige rekker” og integraler (som er rekkenes analytiske utvidelser) Abel var opptatt av, og hvordan en kan regne med dem, addere eller subtrahere deres ledd (økninger) etc. Det ble gjort mange matematiske feil på dette området i Abels tid. I et brev til sin lærer Bernt Holmboe skrev Abel 16. januar 1826 om slike feil ved å regne med uendelige rekker:

- “Kan der tenkes noget skrækkeligere end at sige at 0 = 1 – 2ⁿ + 3ⁿ - 4ⁿ + etc. hvor n er et helt positivt Tal? Risum teneatis amici. [Må ikke dere le av dette, venner?]”

Sidebemerkning: Norsk matematikkråd tildeler hvert år også Holmboeprisen til fremragende norske skolelærere. I år går den til Therese Hagfors fra Finnmark. Den blir overrakt 26. mai av kunnskapsminister Kristin Halvorsen på Oslo Katedralskole.

- Uten Abel fantes ikke denne strengt begrunnete analysen i dagens matematikk, som mange frykter - men som forhåpentligvis flere og flere kommer til å forstå, til og med elske. Derfor må vi opprettholde Abels minne og derfor håper vi på suksess i vårt arrangement i år, sier professor Reinhard Siegmund-Schultze.

Kommentarer